Question

如圖，等邊△ABC的邊長為10，點P是邊AB的中點，Q為BC延長線上一點，CQ=BC，過P作PE⊥AC于E，連PQ交AC邊于D，求DE的長．

Answer 1

【答案】分析：過P點作PF∥BC，交AC于F點，得到等邊△APF，由PE⊥AC，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到EF=AF，由PF∥AB得到∠PFD=DCQ，∠FPD=∠Q，證出△PDF≌△QDC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)推出DF=CD，由EF=AF和DF=CF得到DE=AC，即可求出答案．
解答：解：過P點作PF∥BC，交AC于F點
∵等邊△ABC的邊長為10，
∵點P是邊AB的中點，CQ=BC，
∴AP=CQ，
∵PF∥CQ，
∴△APF是等邊三角形
∵PE⊥AC，
∴EF=AF，
∵△APF是等邊三角形，AP=CQ，
∴PF=CQ
∵PF∥CQ，
∴∠PFD=∠DCQ，∠FPD=∠Q，
∵PF=CQ，
∴△PDF≌△QDC，
∴DF=CD，
∴DF=CF，
∴DE=EF+DF=AF+CF=AC，
∴ED=5．
答：DE的長是5．
點評：本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)和判定，等腰三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定等知識點，靈活運用等邊三角形的性質(zhì)和判定進行證明是解此題的關(guān)鍵，題型較好，有一點難度．