Question

【題目】在四邊形ABCD中，AB=BC，對角線BD平分，P是BD上一點，過P作PM⊥AD于點M，PN⊥CD于點N.

(1)求證： ；

(2)若，求證：四邊形MPND是正方形。

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.

【解析】試題分析：（1）根據角平分線的性質和全等三角形的判定方法證明△ABD≌△CBD，由全等三角形的性質即可得到：∠ADB=∠CDB；（2）若∠ADC=90°，由（1）中的條件可得四邊形MPND是矩形，再根據兩邊相等的四邊形是正方形即可證明四邊形MPND是正方形．

試題解析：（1）∵對角線BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD，在△ABD和△CBD中，

，

∴△ABD≌△CBD（SAS），

∴∠ADB=∠CDB；

（2）∵PM⊥AD，PN⊥CD，

∴∠PMD=∠PND=90°，

∵∠ADC=90°，

∴四邊形MPND是矩形，

∠ADB=∠CDB，

∴∠ADB=45°

∴PM=MD，

∴四邊形MPND是正方形．