Question

（2013•杭州）射線QN與等邊△ABC的兩邊AB，BC分別交于點(diǎn)M，N，且AC∥QN，AM=MB=2cm，QM=4cm．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)Q出發(fā)，沿射線QN以每秒1cm的速度向右移動(dòng)，經(jīng)過t秒，以點(diǎn)P為圓心，

3

cm為半徑的圓與△ABC的邊相切（切點(diǎn)在邊上），請(qǐng)寫出t可取的一切值

t=2或3≤t≤7或t=8

（單位：秒）

Answer 1

分析：求出AB=AC=BC=4cm，MN=

1

2

AC=2cm，∠BMN=∠BNM=∠C=∠A=60°，分為三種情況：畫出圖形，結(jié)合圖形求出即可；

解答：解：∵△ABC是等邊三角形，
∴AB=AC=BC=AM+MB=4cm，∠A=∠C=∠B=60°，
∵QN∥AC，AM=BM．
∴N為BC中點(diǎn)，
∴MN=

1

2

AC=2cm，∠BMN=∠BNM=∠C=∠A=60°，
分為三種情況：①如圖1，
當(dāng)⊙P切AB于M′時(shí)，連接PM′，
則PM′=

3

cm，∠PM′M=90°，
∵∠PMM′=∠BMN=60°，
∴M′M=1cm，PM=2MM′=2cm，
∴QP=4cm-2cm=2cm，
即t=2；
②如圖2，
當(dāng)⊙P于AC切于A點(diǎn)時(shí)，連接PA，
則∠CAP=∠APM=90°，∠PMA=∠BMN=60°，AP=

3

cm，
∴PM=1cm，
∴QP=4cm-1cm=3cm，
即t=3，
當(dāng)⊙P于AC切于C點(diǎn)時(shí)，連接P′C，
則∠CP′N=∠ACP′=90°，∠P′NC=∠BNM=60°，CP′=

3

cm，
∴P′N=1cm，
∴QP=4cm+2cm+1cm=7cm，
即當(dāng)3≤t≤7時(shí)，⊙P和AC邊相切；

③如圖3，
當(dāng)⊙P切BC于N′時(shí)，連接PN′
則PN′=

3

cm，∠PN′N=90°，
∵∠PNN′=∠BNM=60°，
∴N′N=1cm，PN=2NN′=2cm，
∴QP=4cm+2cm+2cm=8cm，
即t=8；
故答案為：t=2或3≤t≤7或t=8．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，勾股定理，含30度角的直角三角形性質(zhì)，切線的性質(zhì)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生綜合運(yùn)用定理進(jìn)行計(jì)算的能力，注意要進(jìn)行分類討論�。�