Question

如圖，在矩形ABCD中，AB=12，AD=10．點Q從點D出發(fā)沿DA以每秒1個單位長度的速度向點A勻速運動；點P從點A出發(fā)沿AB以每秒2個單位長度的速度向點B勻速運動．伴隨P、Q的運動，直線EF保持垂直平分PQ于點F，交射線DC于點E．點P、Q同時出發(fā)，當(dāng)點P到達(dá)B點時停止運動，點Q也隨之停止．設(shè)點P運動時間為t秒（t＞0），△APQ的面積為S．
（1）求S和t之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）t為何值時，直線EF經(jīng)過點A？
（3）t為何值時，EF∥AC？
（4）EF能平分矩形ABCD的面積嗎？如果能，請求出此時t的值，如果不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）當(dāng)時間為t時，DQ=t，則AQ=10-t，AP=2t，由三角形的面積公式就可以表示出S和t之間的函數(shù)關(guān)系式，
（2）當(dāng)直線EF經(jīng)過點A時，根據(jù)中垂線的性質(zhì)建立等量關(guān)系，就可以求出其t值，
（3）根據(jù)條件由勾股定理可以求出PQ的值，利用△QGF∽△QPA可以求出GF的值，通過△QGF∽△ACB可以求出其t值．
（4）利用分得的兩部的面積相等找到邊相等，利用勾股定理表示出AG的值，由AG=PB建立等量關(guān)系求出其他值．
解答：解：（1）設(shè)點P運動時間為t秒（t＞0）時，
∴DQ=t，AP=2t，
∴AQ=10-t，
∴S==-t²+10t（6＞t＞0），

（2）當(dāng)直線EF經(jīng)過點A時，
∴AF是線段PQ的垂直平分線，
∴AQ=AP，
∴2t=10-t，
∴t=

（3）連接GP，
∵EF垂直平分PQ，
∴GP=GQ，設(shè)GQ=a，則GP=a，
∴GA=10-t-a，在Rt△APG中，由勾股定理得：
（2t）²+（10-t-a）²=a²，
∴a=，
在Rt△APQ中，由勾股定理，得
（10-t）²+（2t）²=PQ²，
∴PQ=
在Rt△ABC中，由勾股定理，得
AC=，
∵GE∥AC，
∴△QGF∽△QPA，△QGF∽△ACB，
∴，，
∴，
∴GF=
∴，
解得t₁=，t₂=（不符合題意，應(yīng)舍去）

（4）如圖，連接GQ，在Rt△AGQ中，設(shè)AG=b，GP=QG=2t-b，AQ=10-t，
由勾股定理，得（2t-b）²=b²+（10-t）²，
∴b==AG，
∵EF平分矩形的面積，
∴EF過矩形中心，即AG=EC，
又AD=BC，
∴S_矩形ADHG=S_矩形PECB，
又∵AD=PE，
∴AD•AG=PE•PB，
∴AG=PB，
∴=12-2t，解得：
t₁=，t₂=-2（不符合題意，應(yīng)舍去）
點評：本題考查了矩形的性質(zhì)，中垂線的性質(zhì)，面積公式的運用，勾股定理的運用．