Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標系中，拋物線與直線交于點和點，與軸交于點.

（1）求出直線和拋物線的函數表達式；

（2）在圖1中，平移線段，恰好可以使得點落在直線上，并且點落在拋物線上，點、對應的點分別為、，求此時點的坐標（點在第四象限）；

（3）如圖2，在（2）的條件下，在拋物線上是否存在點（不與點重合），使得面積與面積相等？若存在，直接寫出點的坐標；若不存在，請說明理由.（點在第一象限）

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）存在，P的坐標為（1，4），（2+，-4-2）或（2-，2-4）．.

【解析】

（1）將點B（-2，-5）代入直線y=x+m即可求出直線解析式，將A（n，0）代入直線解析式y=x-3即可求出點A坐標，將A，B代入拋物線y=-x2+bx+c即可求出拋物線解析式；
（2）先根據直線AB的解析式設出點N坐標，根據平移的性質可知xA-xC=xM-xN，yC-yA=yN-yM，將C，A，N三點坐標代入即可求出含字母的點M的坐標，將M的坐標代入二次函數解析式即可求出M的具體值；
（3）分兩種情況討論，當點P在MC上方的拋物線上時，過點A作CM的平行線交拋物線于點P，交y軸于點E，求出AE的解析式，再求出其與拋物線交點即可，當點P在MC下方的拋物線上時，先找出點E關于點C的對稱點O，然后按照相同的方法即可求出點P．

（1）將代入，

得，

∴，

把代入，

得，

∴，

∴，

將，代入，

得，

解得：，，

∴；

（2）∵在中，

當時，，

∴，

∵點在直線上，

∴設，

如圖1，由平移的性質知，四邊形是平行四邊形，

∴，，

∵，，，

∴，

將代入，

得，

解得：（舍去），，

∴；

（3）①當如圖2-1，過點作的平行線，交拋物線于點，交軸于點，此時的面積與的面積相等，

將，代入，

得，

解得：，，

∴，

∵，

∴設，

將點代入，

得，

∴，

聯(lián)立與，

得，

解得：，，

∴.

②當點P在AC下方的拋物線上時，
在yAE=-2x+6中，
當x=0時，y=6，
∴E（0，6），
則點E與原點O關于點C對稱，過點O作CM的平行線l，
則yl=-2x，
聯(lián)立y=-x2+2x+3與yl=-2x，
得-x2+2x+3=-2x，
解得x1=2+，x2=2-，
∴P（2+，-4-2）或（2-，2-4），

綜上所述，P的坐標為（1，4），（2+，-4-2）或（2-，2-4）．