Question

【題目】綜合與實踐

折紙是同學們喜歡的手工活動之一，通過折紙我們既可以得到許多美麗的圖形，同時折紙的過程還蘊含著豐富的數(shù)學知識．

折一折：把邊長為4的正方形紙片對折，使邊與重合，展開后得到折痕．如圖①：為上一點，將正方形紙片沿直線折疊，使點落在的點處，展開后連接，如圖②

（一）做一做：

（1）圖②中，求的度數(shù)和線段的長度．

（2）圖②中，試判斷的形狀，并給出證明．

剪一剪、折一折：將圖②中的剪下來，將其沿直線折疊，使點落在點處，分別得到圖③、圖④．

（二）填一填：

（3）圖③中陰影部分的周長為________．

（4）圖③中，若，則__________．

（5）如圖④點落在邊上，若，則______（用含的代數(shù)式表示）．

Answer 1

【答案】（1），；（2）是等邊三角形，理由詳見解析；（3）12；（4）；（5）

【解析】

（1）由折疊得四邊形CDEF是矩形，ED=AD=2，DN=CD=4，求出∠CDN=∠END=30°，

由折疊得∠CDM=∠NDM得到∠CDM=15°，根據(jù)∠CMD=90°-∠CDM求出度數(shù)，根據(jù)EN=，EF=CD=4，求出NF=；

（2）是等邊三角形；由折疊得AE=DE，∠AEN=∠DEN=90°，證得，得到，再求出∠AND=90°-∠CDN=60°，即可得到△AND是等邊三角形；

（3）根據(jù)等邊三角形的性質得到AN=ND=AD=4，陰影部分的周長=NG+++DH+ND=AN+AD+ND即可求出答案；

（4）由，求出，利用四邊形的內角和360°求出再根據(jù)鄰補角求出答案；

（5）根據(jù)設，(b>0)，得到AN=ND=AD=b（m+n），證明△∽△，得到=，即可求出答案.

（1）由折疊得四邊形CDEF是矩形，ED=AD=2，DN=CD=4，

∵∠DEF=90°，ED=DN,

∴∠END=30°，

∴∠CDN=∠END=30°，

由折疊得∠CDM=∠NDM，

∴∠CDM=15°，

∴∠CMD=90°-∠CDM=75°，

∵EN=，EF=CD=4，

∴NF=；

（2）是等邊三角形；

證明：由折疊得AE=DE，∠AEN=∠DEN=90°，

又∵EN=EN，

∴，

∴，

∵∠AND=90°-∠CDN=60°，

∴△AND是等邊三角形；

（3）∵△AND是等邊三角形，

∴AN=ND=AD=4，

∴陰影部分的周長=NG+++DH+ND=AN+AD+ND=12，

故答案為：12；

（4）∵，

∴，

∵∠A=，

∴,

∴，

故答案為：；

（5）∵,

∴設，(b>0)，

∵△AND是等邊三角形，

∴AN=ND=AD=b（m+n），

∵，

∴,

∵∠N=∠D=,

∴,

∴,

∴△∽△,

∴，

=．

∴，

故答案為：.