Question

如圖，在矩形ABCD中，AB=3

3

，AD=3，點M是邊BC上的動點（點M不與點B，點C重合），過點M作直線MN∥BD，交CD邊于點N，再把△CMN沿著動直線MN對折，點C的對應點是P點，設CM的長度為x．
（1）求∠CMN的度數；
（2）當x取何值時，點P落在矩形ABCD的對角線BD上？
（3）當x在什么范圍內取值時，點P落在△ABD的內部？
（提示：對（2）、（3）兩問在備用圖中畫出滿足條件的圖形，再解答）

Answer 1

分析：（1）在Rt△ABD中，根據AB、AD的長，即可求出∠ABD的度數，也就得到∠CBD的度數；而∠CMN和∠CBD是平行線的同位角，因此這兩角相等，由此得出∠CMN的度數；
（2）如備用圖1，點P在BD上時．根據折疊的性質和（1）中的結論可以推知△PMB為等邊三角形，則點M為BC的中點；
（3）當P在AB上時，△MBP為直角三角形，且∠BMP=60°（可由（1）的結論得出），根據折疊的性質MP=MC=x，然后用x表示出BM的長，可根據∠PBM的余弦值得出關于x的方程即可求出x的值．

解答：解：（1）如圖1，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A=∠ABC=90°．
在Rt△ABD中，AB=3

3

，AD=3，則tan∠ABD=

AD

AB

=

3

3 3

=

3

3

，即∠ABD=30°．
∴∠CBD=60°．
∵MN∥BD，
∴∠CMN=∠CBD=60°．

（2）如備用圖1，由軸對稱的性質可知，△PMN≌△CMN，
∴∠PMN=∠CMN，PM=CM．
由（1）知∠PMN=∠CMN=60°，
∴∠PMB=60°，
∴∠PMB=∠PBM=60°，
∴PM=BM，
∴CM=BM，即點M是BC的中點，則x=

1

2

BC=

1

2

AD=1.5；

（3）如備用圖2，由軸對稱的性質可知，△PMN≌△CMN，
∴∠PMN=∠CMN，PM=CM=x．
由（1）知∠PMN=∠CMN=60°，
∴∠PMB=60°，
∴∠MPB=30°，
∴MP=2MB．
∴在△MPB中，根據題意得：x=2（3-x），
解得：x=2．
由（2）知，當點P在BD上時，x=1.5，
∴當1.5＜x＜2時，點P落在△ABD的內部．

點評：本題考查了四邊形綜合題．其中涉及到了矩形的性質、翻折變換以及含30度角的直角三角形．解題過程中應注意折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，根據軸對稱的性質，折疊前后圖形的形狀和大小不變，如本題中折疊前后角相等．