如圖，C為線段AB上一動點，過A作AD⊥AB且AD=3，過B作BE⊥AB且BE=1，連接DC、EC，若AB=5，設(shè)AC精英家教網(wǎng)=x．
（1）DC+EC的長為
 
（用含x的式子表示，不必化簡）；
（2）當點C的位置滿足
 
時，DC+EC的長最小，最小值是
 
；
（3）根據(jù)以上結(jié)論，你能通過構(gòu)圖求出
x2+4
+
(4-x)2+25
的最小值嗎？請畫出你的示意圖，適當加以說明并求出此最小值．
分析：（1）表示出BC的長度，然后分別在Rt△ACD與Rt△BCE中利用勾股定理求出DC與EC的長度，相加即可；
（2）根據(jù)兩點之間線段最短，當點C、D、E在同一直線時，DC+EC的長最小，此時△ACD與△BCE相似，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例列式即可求出x的值，再代入進行計算即可求解；
（3）根據(jù)（2）的求解思路畫出示意圖并利用相似三角形對應(yīng)邊成比例列式求解即可．
解答：解：（1）∵AB=5，AC=x，
∴BC=5-x，
∵AD=3，BE=1，
∴DC=
AD2+AC2
=
32+x2
，
EC=
BE2+EC2
=
12+(5-x)2
，
∴DC+EC的長為：
32+x2
+
12+(5-x)2
；

（2）如圖，根據(jù)兩點之間線段最短可知，當點C、D、E在同一直線時，DC+EC的長最小，
精英家教網(wǎng)此時，∠ACD=∠BCE（對頂角相等），
∠A=∠B=90°（垂直定義），
∴△ACD∽△BCE，
∴
AD
BE
=
AC
BC
，
即
3
1
=
x
5-x
，
解得x=
15
4
，
此時，DC+EC=
32+x2
+
12+(5-x)2
=
32+(
15
4
)2
+
1+(5-
15
4
)2
=
41
；

（3）如圖所示，
精英家教網(wǎng)根據(jù)（2）中的求解思路，
當
2
5
=
x
4-x
時，
即x=
8
7
時，
x2+4
+
(4-x)2+25
有最小值，
此時
x2+4
+
(4-x)2+25
=
(5+2)2+42
=
65
．
點評：本題考查了利用軸對稱求最短路線的問題，根據(jù)兩點之間線段最短的性質(zhì)以及相似三角形對應(yīng)邊成比例列式是解題的關(guān)鍵．
練習冊系列答案
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精英家教網(wǎng)如圖，C為線段AB上一點，以BC為直徑作⊙O，再以AO為直徑作⊙M交⊙O于D、B作AB的垂線交AD的延長線于F，連接CD．若AC=2，且AC與AD的長是關(guān)于x的方程x2-2(1+
5
)x+k=0的兩個根．
①求證：AD是⊙O的切線；
②求線段DF的長．

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，C為線段AB上的一點，△ACM、△CBN都是等邊三角形，若AC=3，BC=2，則△MCD與△BND的面積比為
 
．

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精英家教網(wǎng)如圖，C為線段AB上的一點，△ACM、△CBN都是等邊三角形，BM與CN交于D點．若AC=3，BC=2，則CD=
 
．

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7、如圖，P為線段AB上一點，AD與BC交干E，∠CPD=∠A=∠B，BC交PD于E，AD交PC于G，則圖中
相似三角形有（　　）

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•順義區(qū)二模）已知：如圖，D為線段AB上一點（不與點A、B重合），CD⊥AB，且CD=AB，AE⊥AB，BF⊥AB，且AE=BD，BF=AD．
（1）如圖1，當點D恰是AB的中點時，請你猜想并證明∠ACE與∠BCF的數(shù)量關(guān)系；
（2）如圖2，當點D不是AB的中點時，你在（1）中所得的結(jié)論是否發(fā)生變化，寫出你的猜想并證明；
（3）若∠ACB=α，直接寫出∠ECF的度數(shù)（用含α的式子表示）．

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