Question

【題目】如圖，中，已知，,于D，，，如何求AD的長呢？

心怡同學靈活運用對稱知識，將圖形進行翻折變換，巧妙地解答了此題，

請按照她的思路，探究并解答下列問題：

（1）分別以AB、AC為對稱軸，畫出、的軸對稱圖形，D點的對稱點為E、F，延長EB、FC相交于G點，試證明四邊形AEGF是正方形；

（2）設，利用勾股定理，建立關于x的方程模型，求出x的值．

Answer 1

【答案】（1）見詳解；（2）18

【解析】

（1）先根據(jù)△ABD≌△ABE，△ACD≌△ACF，得出∠EAF=90°；再根據(jù)對稱的性質(zhì)得到AE=AF，從而說明四邊形AEGF是正方形；
（2）利用勾股定理，建立關于x的方程模型（x-6）2+（x-9）2=152，求出AD=x=6．

解：（1）證明：由題意可得：△ABD≌△ABE，△ACD≌△ACF
∴∠DAB=∠EAB，∠DAC=∠FAC，又∠BAC=45°
∴∠EAF=90°
又∵AD⊥BC
∴∠E=∠ADB=90°，∠F=∠ADC=90°
又∵AE=AD，AF=AD
∴AE=AF
∴四邊形AEGF是正方形

（2）解：設AD=x，則AE=EG=GF=x
∵BD=6，DC=9
∴BE=6，CF=9
∴BG=x-6，CG=x-9
在Rt△BGC中，BG2+CG2=BC2
∴（x-6）2+（x-9）2=152
∴（x-6）2+（x-9）2=152，化簡得，x2-15x-54=0，整理得（x-18）（x+3）=0
解得x1=18，x2=-3（舍去）
所以AD=x=18