Question

拋物線y=mx²-5mx+n與y軸正半軸交于點(diǎn)C，與x軸分別交于點(diǎn)A和點(diǎn)B（1，0），且OC²=OA•OB．
（1）求拋物線的解析式；                                        
（2）點(diǎn)P是y軸上一點(diǎn)，當(dāng)△PBC和△ABC相似時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意，得拋物線對(duì)稱軸是直線，并且A和B關(guān)于直線對(duì)稱，因?yàn)辄c(diǎn)B（1，0），所以A（4，0），又因?yàn)镺C²=OA•OB，進(jìn)而求出OC的長(zhǎng)，所以C點(diǎn)的坐標(biāo)可求，從而求出拋物線的解析式；  
（2）首先△BOC∽△COA，所以∠OCB=∠OAC，所以當(dāng)△PBC和△ABC相似時(shí)，分兩種情況①當(dāng)時(shí)②當(dāng)時(shí)分別求出符合題意的OP的長(zhǎng)，即可求出P點(diǎn)的坐標(biāo)．
解答：解：（1）由題意，得拋物線對(duì)稱軸是直線，
∵點(diǎn)A和點(diǎn)B關(guān)于直線對(duì)稱，點(diǎn)B（1，0），
∴A（4，0），
∵OC²=OA•OB=4×1=4，
∴OC=2，
∵點(diǎn)C在y軸正半軸上，
∴C（0，2），
∴；
（2）由題意，可得AB=3，，，
∵OC²=OA•OB，
∴，
又∠BOC=∠COA，
∴△BOC∽△COA，
∴∠OCB=∠OAC，
∴△PBC和△ABC相似時(shí)，分下列兩種情況：
①當(dāng)時(shí)，得，∴，
∴，
∴；
②當(dāng)時(shí)，得，∴，
∴，
∴，
綜合①、②當(dāng)△PBC和△ABC相似時(shí)或．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了求二次函數(shù)的解析式、相似三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是要注意分類討論的數(shù)學(xué)思想運(yùn)用，防止漏解．