Question

已知∠ACE=∠CDE=90°，點(diǎn)B在CE上，CA=CB=CD，經(jīng)A、C、D三點(diǎn)的圓交AB于F（如圖）．
求證：F為△CDE的內(nèi)心．

Answer 1

【答案】分析：本題的證法很多，但思路主要有兩個(gè)：其一，連FC、FD、FE，然后證其中兩個(gè)為相應(yīng)的角平分線(xiàn)；其二是過(guò)F作三邊的垂線(xiàn)，然后證明其中兩條垂線(xiàn)段相等．
解答：證明：證法1：如圖，連DF，則由已知，
∵∠CDF=∠CAB=45°=∠CDE，
∴DF為∠CDE的平分線(xiàn)，
連BD、CF，由CD=CB，知∠FBD=∠CBD-45°=∠CDB-45°=∠FDB，
得FB=FD，即F到B、D和距離相等，F(xiàn)在線(xiàn)段BD的垂直平分線(xiàn)上，
從而也在等腰三角形CBD的頂角平分線(xiàn)上，CF是∠ECD的平分線(xiàn)．
∵F是△CDE上兩條角平分線(xiàn)的交點(diǎn)，
∴就是△CDE的內(nèi)心．

證法2：同證法1，得出∠CDF=45°=90°-45°=∠FDE之后，
由于∠ABC=∠FDE，故有B、E、D、F四點(diǎn)共圓．
連EF，在證得∠FBD=∠FDB之后，
立即有∠FED=∠FBD=∠FDB=∠FEB，即EF是∠CED的平分線(xiàn)．
本來(lái)，點(diǎn)E的信息很少，證EF為角平分線(xiàn)應(yīng)該是比較難的，但四點(diǎn)共圓把許多已知信息集中并轉(zhuǎn)移到E上來(lái)了，
因而證法2并不比證法1復(fù)雜．
由這個(gè)證明可知，F(xiàn)是△DCB的外心．
∠CDF=∠CAB=45°=∠CDE，
知DF是∠CDE的平分線(xiàn)，
故F是△CDE的內(nèi)心．

證法3：如圖，只證CF為∠DCE的平分線(xiàn)．由∠AGC=∠GBA+∠GAB=45°+∠2，
∠AGC=∠ADC=∠CAD=∠CAB+∠1
=45°+∠1
得∠1=∠2．
從而∠DCF=∠GCF，
得CF為∠DCE的平分線(xiàn)．

證法4：首先DF是∠CDE的平分線(xiàn)，故
△CDE的外心I在直線(xiàn)DF上．
現(xiàn)以CA為y軸、CB為x軸建立坐標(biāo)系，并記CA=CB=CD=d，則直線(xiàn)AB是一次函數(shù)
y=-x+d①
的圖象（如圖）．若記內(nèi)心I的坐標(biāo)為（x₁，y₁），則
x₁+y₁=CH+IH
=CH+HB=CB=d

滿(mǎn)足①，即I在直線(xiàn)AB上，但I(xiàn)在DF上，故I是AB與DF的交點(diǎn)．由交點(diǎn)的唯一性知I就是F，從而證得F為Rt△CDE的內(nèi)心．
還可延長(zhǎng)ED交⊙O于P₁，而CP為直徑來(lái)證．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了三角形內(nèi)心的判定．注意三角形的內(nèi)心即是三角形角平分線(xiàn)的交點(diǎn)．注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．