Question

在矩形ABCD中，點O在對角線BD上，以OD為半徑的⊙O與AD、BD分別交于點E、F，且∠ABE=∠DBC.
 
（1）求證：BE與⊙O相切；
（2）若，CD=2，求⊙O的半徑.

Answer 1

（1）連接OE，根據矩形的性質可得AD∥BC，∠C=∠A=90°，即可得到∠3=∠DBC，∠ABE+∠1=90°，再結合OD=OE，∠ABE=∠DBC可得∠2=∠3=∠ABE，從而可以證得結論；（2）

試題分析：（1）連接OE，根據矩形的性質可得AD∥BC，∠C=∠A=90°，即可得到∠3=∠DBC，∠ABE+∠1=90°，再結合OD=OE，∠ABE=∠DBC可得∠2=∠3=∠ABE，從而可以證得結論；
（2）由∠ABE =∠DBC可得，即可求得DB的長，再根據勾股定理求得DE的長，
連接EF，根據圓周角定理可得∠DEF=∠A=90°，再證得∽，根據相似三角形的性質即可求得結果.
（1）連接OE

∵四邊形ABCD是矩形
∴AD∥BC，∠C=∠A=90°
∴∠3=∠DBC，∠ABE+∠1=90°
∵OD=OE，∠ABE=∠DBC
∴∠2=∠3=∠ABE
∴∠2+∠1=90°
∴∠BEO=90°
∵點E在⊙O上
∴BE與⊙O相切；
（2）∵∠ABE =∠DBC
∴
∵DC=2，∠C=90°
∴DB=6
∵∠A=90°
∴BE=3AE  
∵AB=CD=2
利用勾股定理，得，
∴
連接EF  

∵DF是⊙O的直徑，
∴∠DEF=∠A=90°
∴AB∥EF
∴∽ 
∴ 
∴
∴
∴⊙O的半徑為.
點評：解答本題的關鍵是熟練掌握切線垂直于經過切點的半徑；相似三角形的對應邊成比例，注意對應字母在對應位置上.