Question

【題目】在直角三角形中，已知，內(nèi)有一點(diǎn)，則的最小值為_______________________。

Answer 1

【答案】

【解析】

將△APB繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°至△AP′B′處，連接PP′，根據(jù)直角三角形30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半求出AB＝6，即AB′的長，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求出△APP′是等邊三角形，利用等邊三角形的性質(zhì)可得AP＝PP′，然后可得C、P、P′、B′四點(diǎn)共線時(shí)，PA＋PB＋PC取最小值，再利用勾股定理列式求出CB′即可．

解：如圖，將△APB繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°至△AP′B′處，連接PP′，

∵在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，BC＝3，∠BAC＝30°，

∴AB＝6，

∴AC＝，

∵△APB繞點(diǎn)A順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°得到△AP′B′，

∴AP＝AP′，∠PAP′＝60°，AB′＝AB＝6，BP＝P′B′，∠B′AC＝∠BAC＋60°＝30°＋60°＝90°，

∴△APP′是等邊三角形，

∴AP＝PP′，

∴PA＋PB＋PC＝PP′＋P′B′＋PC，

∴當(dāng)C、P、P′、B′四點(diǎn)共線時(shí)，PA＋PB＋PC取最小值，

此時(shí)PA＋PB＋PC＝PP′＋P′B′＋PC＝CB′＝，

故答案為：.