Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)的圖像分別交x、y軸于點(diǎn)A、B，拋物線經(jīng)過點(diǎn)A、B，點(diǎn)P為第四象限內(nèi)拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).

（1）求此拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；

（2）如圖1所示，過點(diǎn)P作PM∥y軸，分別交直線AB、x軸于點(diǎn)C、D，若以點(diǎn)P、B、C為頂點(diǎn)的三角形與以點(diǎn)A、C、D為頂點(diǎn)的三角形相似，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）如圖2所示，過點(diǎn)P作PQ⊥AB于點(diǎn)Q，連接PB，當(dāng)△PBQ中有某個(gè)角的度數(shù)等于∠OAB度數(shù)的2倍時(shí)，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的橫坐標(biāo).

Answer 1

【答案】（1）拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為；（2）P的坐標(biāo)為或；（3）點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為3或.

【解析】

（1）先利用一次函數(shù)求出A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，然后用待定系數(shù)法即可求出拋物線的表達(dá)式；

（2）分兩種情況：若，則；若，則，分情況進(jìn)行討論即可；

（3）分兩種情況，和，分情況進(jìn)行討論即可.

（1）令 時(shí)，，

∴ ，

令 時(shí)，，解得，

∴ ，

將點(diǎn)A,B代入中得

解得

∴拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為.

（2）設(shè) ，

若，則 ，

此時(shí)P點(diǎn)的縱坐標(biāo)與B點(diǎn)的縱坐標(biāo)相同，

∴，

解得（舍去）或，

∴，

若，則 ，作PQ⊥OB于點(diǎn)Q，

，

，

，

，

∵，，

∴ ， ，

即，

解得（舍去）或

∴

綜上所述，P的坐標(biāo)為或.

（3）若,過點(diǎn)B作BC∥OA交PQ于點(diǎn)C，過點(diǎn)P作PD⊥OB于點(diǎn)D

∵BC∥OA

∴

設(shè)

∴

解得（舍去）或

∴

若，如圖，取AB的中點(diǎn)E，連接OE，過P作PG⊥x軸于G，交直線AB于H，過O作OF⊥AB于F，連接AP，則∠BPQ=∠OEF，

設(shè)點(diǎn)，則，

，

，

，

，

則有，

，

，

，

即，

，

，

化簡得：，即，

解得：（舍去），.

綜上，存在點(diǎn)P，使得△PBQ中有某個(gè)角的度數(shù)等于∠OAB度數(shù)的2倍時(shí)，其P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3或.