Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB垂足為D，AE平分∠CAB交CD于點F，交BC于點E，EH⊥AB，垂足為H，連接FH．

(1)求證：CF=CE

(2)試判斷四邊形CFHE的形狀，并說明理由．

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2)四邊形CFHE是菱形.

【解析】

（1）如圖，先由直角三角形的性質證∠3=∠5，再由對頂角相等和等量代換得∠4=∠5，從而得到CF=CE；

（2）由角平分線的性質定理得CE=EH，又因為CF=CE，所以CF=EH，再證CF∥EH，得平行四邊形CFHE，又因為CF=CE，四邊形CFHE是菱形.

(1)證明：如圖

∵∠ACB=90°，CD⊥AB垂足為D，

∴∠1+∠5=90°，∠2+∠3=90°，

又∵∠AE平分∠CAB，

∴∠1=∠2，

∴∠3=∠5，

∵∠3=∠4，

∴∠4=∠5，

∴CF=CE

(2)四邊形CFHE是菱形

理由：∵AE平分∠CAB，CE⊥AC，EH⊥AB，

∴CE=EH，

由(1)CF=CE，

∴CF=EH，

∵CD⊥AB，EH⊥AB，

∴∠CDB=90°，∠EHB=90°，

∴∠CDB=∠EB，

∴CD∥EH，即CF∥EH，

∴四邊形CFHE是平行四邊形．

∵CF=CE，

∴四邊形CFHE是菱形.