Question

如圖，已知∠AOB=30°，P為其內(nèi)部一點(diǎn)，OP=3，M、N分別為OA、OB邊上的一點(diǎn)，要使△PMN的周長(zhǎng)最小，請(qǐng)給出確定點(diǎn)M、N位置的方法，并求出最小周長(zhǎng)．

Answer 1

分析：作點(diǎn)P關(guān)于OA的對(duì)稱點(diǎn)P₁，點(diǎn)P關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)P₂，連結(jié)P₁P₂，與OA的交點(diǎn)即為點(diǎn)M，與OB的交點(diǎn)即為點(diǎn)N，則此時(shí)M、N符合題意，求出線段P₁P₂的長(zhǎng)即可．

解答：解：作點(diǎn)P關(guān)于OA的對(duì)稱點(diǎn)P₁，點(diǎn)P關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)P₂，連結(jié)P₁P₂，
與OA的交點(diǎn)即為點(diǎn)M，與OB的交點(diǎn)即為點(diǎn)N，
△PMN的最小周長(zhǎng)為PM+MN+PN=P₁M+MN+P₂N=P₁P₂，即為線段P₁P₂的長(zhǎng)，
連結(jié)OP₁、OP₂，則OP₁=OP₂=3，
又∵∠P₁OP₂=2∠AOB=60°，
∴△OP₁P₂是等邊三角形，
∴P₁P₂=OP₁=3，
即△PMN的周長(zhǎng)的最小值是3．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等邊三角形的性質(zhì)和判定，軸對(duì)稱-最短路線問(wèn)題的應(yīng)用，關(guān)鍵是確定M、N的位置．