Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線AC的解析式為y=-x+2，直線AC交x軸于點(diǎn)C，交y軸于點(diǎn)A．
（1）若一個等腰直角三角形OBD的頂點(diǎn)D與點(diǎn)C重合，直角頂點(diǎn)B在第一象限內(nèi)，請直接寫出點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）過點(diǎn)B作x軸的垂線l，在l上是否存在一點(diǎn)P，使得△AOP的周長最��？若存在，請求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）∵直線y=-x+2交x軸于點(diǎn)C，交y軸于點(diǎn)A．
∴A（0，2），C（4，0），
如圖1，過點(diǎn)B作BE⊥x軸于點(diǎn)E，
∵△OBD是等腰直角三角形，
∴OE=OD=×4=2，
∴BE=OE•tan45°=2×1=2，
∴B（2，2）；

（2）如圖2所示，
∵B（2，2），
∴直線l的解析式為：x=2，
作點(diǎn)A關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)A′，連接OA′交直線l于點(diǎn)P，則點(diǎn)P即為所求點(diǎn)，
∵A（0，2），
∴A′（4，2），
設(shè)直線OA′的解析式為y=kx（k≠0），則2=4k，
解得k=，
∴直線OA′的解析式為y=x，
∴當(dāng)x=2時，y=1，
∴P（2，1）．
分析：（1）先根據(jù)直線AC的解析式為y=-x+2求出A、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)，故可得出OD的長，再過點(diǎn)B作BE⊥x軸于點(diǎn)E，再由銳角三角函數(shù)的定義即可求出BE的長，進(jìn)而得出B點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）作點(diǎn)A關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)A′，連接OA′交直線l于點(diǎn)P，則點(diǎn)P即為所求點(diǎn)．
點(diǎn)評：本題考查的是一次函數(shù)綜合題，涉及到一次函數(shù)的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)等相關(guān)知識，根據(jù)題意作出輔助線是解答此題的關(guān)鍵．