Question

【題目】如圖，已知AB是⊙O的直徑，直線l與⊙O相切于點C且，弦CD交AB于E，BF⊥l，垂足為F，BF交⊙O于G．

（1）求證：CE2=FGFB；

（2）若tan∠CBF=，AE=3，求⊙O的直徑．

Answer 1

【答案】（1）見解析;（2）15．

【解析】

（1）由切割線定理知：CF2=FGFB，欲證本題的結論，需先證得CE=CF；可通過證△BCE≌△BCF得出；

（2）欲求⊙O的直徑，已知AE的長，關鍵是求出BE的長度；在Rt△ABC中，CE⊥AB，根據射影定理得到CE2=AEEB，由此可求出BE的長．

（1）連接AC，

∵AB為直徑，

∴∠ACB=90°，

∵，且AB是直徑，

∴AB⊥CD，

即CE是Rt△ABC的高，

∴∠A=∠ECB，∠ACE=∠EBC，

∵CF是⊙O的切線，

∴∠FCB=∠A，CF2=FGFB，

∴∠FCB=∠ECB，

∵∠BFC=∠CEB=90°，CB=CB，

∴△BCF≌△BCE，

∴CE=CF，∠FBC=∠CBE，

∴CE2=FGFB；

（2）∵∠CBF=∠CBE，∠CBE=∠ACE，

∴∠ACE=∠CBF；

∴tan∠CBF=tan∠ACE=，

∵AE=3，

∴，

∴CE=6，

在Rt△ABC中，CE是高，

∴CE2=AEEB，即62=3EB，

∴EB=12，

∴⊙O的直徑為：12+3=15．