Question

已知如圖1，線段AB、CD相交于點(diǎn)O，連接AD、CB，我們把形如圖1的圖形稱之為“8字形”．如圖2，在圖1的條件下，∠DAB和∠BCD的平分線AP和CP相交于點(diǎn)P，并且與CD、AB分別相交于M、N．
試解答下列問題：
（1）在圖1中，若∠A+∠D=80°，則∠B+∠C=

80°

；仔細(xì)觀察，在圖2中“8字形”的個數(shù)：

6

個；
（2）在圖2中，若∠DAO=50°，∠OCB=40°，∠P=35°，試求∠D的度數(shù)；
（3）在圖2中，若設(shè)∠D=x°，∠B=y°，其它條件不變，試求∠P的度數(shù)．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理表示出∠AOD和∠BOC，然后根據(jù)對頂角相等列式整理即可得解，然后根據(jù)頂點(diǎn)找出“8字形”的個數(shù)；
（2）根據(jù)角平分線的定義表示出∠1、∠2，再根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和表示出∠AMO，然后代入數(shù)據(jù)整理即可得解；
（3）根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和分別表示出∠AMO和∠ONC，再根據(jù)角平分線的定義可得∠1=∠2，∠3=∠4，然后整理即可得解．

解答：解：（1）根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理，∠AOD=180°-（∠A+∠D）=180°-80°=100°，
∠BOC=180°-（∠B+∠C），
∵∠AOD=∠OC（對頂角相等），
∴∠B+∠C=180°-100°=80°，
如圖2，以點(diǎn)O為頂點(diǎn)的“8字形”有△AOD和△BOC，△AOM和△CON，△AOD和△CON，△AOM和△BOC，
以點(diǎn)M為頂點(diǎn)的“8字形”有△ADM和△COP，
以點(diǎn)N為頂點(diǎn)的“8字形”有△ANP和△BCN，
共有4+1+1=6個；

（2）∵AP、CP分別是∠DAO、∠BCO的平分線，
∴∠1=

1

2

∠DAO=

1

2

×50°=25°，
∠2=

1

2

∠OCB=

1

2

×40°=20°，
又∵∠AMO=∠1+∠D=∠3+∠P，
∴∠D=∠3+∠P-∠1=20°+35°-25°=30°；

（3）由（2）得，∠AMO=∠1+∠D=∠3+∠P①，
又∠ONC=∠4+∠B=∠2+∠P②，
由①、②得，∠1-∠3=∠P-∠D，
∠2-∠4=∠B-∠P，
由已知得，∠1=∠2，∠3=∠4，
∴∠1-∠3=∠2-∠4，
∴∠P-∠D=∠B-∠P，
∴∠P=

1

2

（∠B+∠D）=

1

2

（x°+y°）．

點(diǎn)評：本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和的性質(zhì)，“8字形”的定義，熟記性質(zhì)并理解題目信息是解題的關(guān)鍵．