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已知如圖1,線段AB、CD相交于點O,連接AD、CB,我們把形如圖1的圖形稱之為“8字形”.如圖2,在圖1的條件下,∠DAB和∠BCD的平分線AP和CP相交于點P,并且與CD、AB分別相交于M、N.
試解答下列問題:
(1)在圖1中,若∠A+∠D=80°,則∠B+∠C=
80°
80°
;仔細觀察,在圖2中“8字形”的個數:
6
6
個;
(2)在圖2中,若∠DAO=50°,∠OCB=40°,∠P=35°,試求∠D的度數;
(3)在圖2中,若設∠D=x°,∠B=y°,其它條件不變,試求∠P的度數.
分析:(1)根據三角形的內角和定理表示出∠AOD和∠BOC,然后根據對頂角相等列式整理即可得解,然后根據頂點找出“8字形”的個數;
(2)根據角平分線的定義表示出∠1、∠2,再根據三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和表示出∠AMO,然后代入數據整理即可得解;
(3)根據三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和分別表示出∠AMO和∠ONC,再根據角平分線的定義可得∠1=∠2,∠3=∠4,然后整理即可得解.
解答:解:(1)根據三角形的內角和定理,∠AOD=180°-(∠A+∠D)=180°-80°=100°,
∠BOC=180°-(∠B+∠C),
∵∠AOD=∠OC(對頂角相等),
∴∠B+∠C=180°-100°=80°,
如圖2,以點O為頂點的“8字形”有△AOD和△BOC,△AOM和△CON,△AOD和△CON,△AOM和△BOC,
以點M為頂點的“8字形”有△ADM和△COP,
以點N為頂點的“8字形”有△ANP和△BCN,
共有4+1+1=6個;

(2)∵AP、CP分別是∠DAO、∠BCO的平分線,
∴∠1=
1
2
∠DAO=
1
2
×50°=25°,
∠2=
1
2
∠OCB=
1
2
×40°=20°,
又∵∠AMO=∠1+∠D=∠3+∠P,
∴∠D=∠3+∠P-∠1=20°+35°-25°=30°;

(3)由(2)得,∠AMO=∠1+∠D=∠3+∠P①,
又∠ONC=∠4+∠B=∠2+∠P②,
由①、②得,∠1-∠3=∠P-∠D,
∠2-∠4=∠B-∠P,
由已知得,∠1=∠2,∠3=∠4,
∴∠1-∠3=∠2-∠4,
∴∠P-∠D=∠B-∠P,
∴∠P=
1
2
(∠B+∠D)=
1
2
(x°+y°).
點評:本題考查了三角形的內角和定理,三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和的性質,“8字形”的定義,熟記性質并理解題目信息是解題的關鍵.
練習冊系列答案
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(1)在圖1中,請直接寫出∠A、∠B、∠C、∠D之間的數量關系:
 
;
(2)仔細觀察,在圖2中“8字形”的個數:
 
個;
(3)在圖2中,若∠D=40°,∠B=36°,試求∠P的度數;
(4)如果圖2中∠D和∠B為任意角時,其他條件不變,試問∠P與∠D、∠B之間存在著怎樣的數量關系.(直接寫出結論即可)

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(1)在圖1中,請寫出∠A、∠B、∠C、∠D之間的數量關系,并說明理由;
(2)仔細觀察,在圖2中“8字形”的個數
6
6
個;
(3)在圖2中,若∠D=46°,∠B=30°,∠DAB和∠BCD的平分線AP和CP相交于點P,并且與CD、AB分別相交于M、N,利用(1)的結論,試求∠P的度數;
(4)如果圖2中∠D和∠B為任意角時,其他條件不變,試問∠P與∠D、∠B之間存在著怎樣的數量關系:
2∠P=∠B+∠D
2∠P=∠B+∠D
.(直接寫出結論即可)
(5)如圖3所示,求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=
360°
360°

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(1)在圖1中,請直接寫出∠A、∠B、∠C、∠D之間的數量關系:
∠A+∠D=∠C+∠B
∠A+∠D=∠C+∠B

(2)仔細觀察,在圖2中“8字形”的個數:
6
6
個;
(3)在圖2中,若∠D=40°,∠B=36°,試求∠P的度數;

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2.仔細觀察,在圖2中“8”字形”的個數       個;

3.在圖2中,若∠D=400,∠B=360,∠DAB和∠BCD的平分線AP和CP相交于點P,并且與CD、AB分別相交于M、N.利用(1)的結論,試求∠P的度數;

4.如果圖2中∠D和∠B為任意角時,其他條件不變,試問∠P與∠D、∠B之間存在著怎樣的數量關系.(直接寫出結論即可)。

 

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