Question

已知△ABC為邊長為10的等邊三角形，D是BC邊上一動點：

①如圖1，點E在AC上，且BD=CE，BE交AD于F，當D點滑動時，∠AFE的大小是否變化？若不變，請求出其度數(shù)．
②如圖2，過點D作∠ADG=60°與∠ACB的外角平分線交于G，當點D在BC上滑動時，有下列兩個結論：①DC+CG的值為定值；②DG-CD的值為定值．其中有且只有一個是正確的，請你選擇正確的結論加以證明并求出其值．

Answer 1

解：①∠AFE的大小不變，其度數(shù)為60°，理由為：
∵△ABC為等邊三角形，
∴AB=BC，∠ABD=∠C=60°，
在△ABD和△BCE中，
，
∴△ABD≌△BCE（SAS），
∴∠BAD=∠CBE，
又∠BAD+∠ADB=120°，
∴∠CBE+∠ADB=120°，
∴∠BFD=60°，
則∠AFE=∠BFD=60°；
②正確的結論為：DC+CG的值為定值，理由如下：
連接AG，如圖2所示：

∵△ABC為等邊三角形，
∴AB=BC=AC，∠ABD=∠ACB=∠BAC=60°，
又CG為∠ACB的外角平分線，
∴∠ACG=60°，
又∵∠ADG=60°，
∴∠ADG=∠ACG，即A，D，C，G四點共圓，
∴∠DAG+∠DCG=180°，又∠DCG=120°，
∴∠DAG=60°，即∠DAC+∠CAG=60°，
又∵∠BAD+∠DAC=60°，
∴∠BAD=∠GAC，
在△ABD和△ACG中，
∵，
∴△ABD≌△ACG（ASA），
∴DB=GC，又BC=10，
則BC=BD+DC=DC+CG=10，即DC+CG的值為定值．
分析：①∠AFE的大小不變，其度數(shù)為60°，理由如下：由三角形ABC為等邊三角形，得到三條邊相等，三個內(nèi)角相等，都為60°，可得出AB=BC，∠ABD=∠C，再由BD=CE，利用SAS可得出三角形ABD與三角形BCE全等，根據(jù)全等三角形的對應角相等可得出∠BAD=∠CBE，在三角形ABD中，由∠ABD為60°，得到∠BAD+∠ADB的度數(shù)，等量代換可得出∠CBE+∠ADB的度數(shù)，利用三角形的內(nèi)角和定理求出∠BFD的度數(shù)，根據(jù)對應角相等可得出∠AFE=∠BFD，可得出∠AFE的度數(shù)不變；
②連接AG，如圖所示，由三角形ABC為等邊三角形，得出三條邊相等，三個內(nèi)角都相等，都為60°，再由CG為外角平分線，得出∠ACG也為60°，由∠ADG為60°，可得出A，D，C，G四點共圓，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的對角互補可得出∠DAG與∠DCG互補，而∠DCG為120°，可得出∠DAG為60°，根據(jù)∠BAD+∠DAC=∠DAC+∠CAG=60°，利用等式的性質得到∠BAD=∠CAG，利用ASA可證明三角形ABD與三角形ACG全等，利用全等三角形的對應邊相等可得出BD=CG，由BC=BD+DC，等量代換可得出CG+CD=BC，而BC=10，即可得到DC+CG為定值10，得證．
點評：此題考查了等邊三角形的判定與性質，全等三角形的判定與性質，四點共圓的條件，以及圓內(nèi)接四邊形的性質，利用了等量代換及轉化的思想，熟練掌握等邊三角形的判定與性質是解本題的關鍵．