Question

【題目】如圖1，正方形ABCD的邊AD在y軸上，拋物線y=a（x﹣2）2﹣1經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、B，與x相交于點(diǎn)E、F，且其頂點(diǎn)M在CD上．

（1）請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)A的坐標(biāo) ，并寫(xiě)出a的值 ；

（2）若點(diǎn)P是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P不與點(diǎn)A、點(diǎn)B重合），過(guò)點(diǎn)P作y軸的平行線l與直線AB交于點(diǎn)G，與直線BD交于點(diǎn)H，如圖2．

①當(dāng)線段PH=2GH時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

②當(dāng)點(diǎn)P在直線BD下方時(shí)，點(diǎn)K在直線BD上，且滿足△KPH∽△AEF，求△KPH周長(zhǎng)的最大值．

Answer 1

【答案】（1）（0，3）；2；（2）①點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3，0）或（﹣1，8）．②．

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)拋物線的對(duì)稱性、拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)以及正方形四邊都相等的性質(zhì)解答；

（2）①根據(jù)待定系數(shù)法可得直線BD的解析式，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，x2﹣4x+3），則點(diǎn)H（x，x﹣1），點(diǎn)G（x，3）．分三種情況：i）當(dāng)x≥1且x≠4時(shí)；ii）當(dāng)0＜x＜1時(shí)；iii）當(dāng)x＜0時(shí)；三種情況討論可得點(diǎn)P的坐標(biāo)；

②根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得S△KPH=PH2=（﹣x2+5x﹣4）2，再根據(jù)二次函數(shù)的增減性可得△KPH面積的最大值．

解：（1）如圖1，∵拋物線的解析式為y=a（x﹣2）2﹣1，頂點(diǎn)是M，

∴M（2，﹣1）．

又∵四邊形ABCD是正方形，

∴OD=1，DC=BC=AB=AD=4，

∴A（0，3）．

把A（0，3）代入y=a（x﹣2）2﹣1，得

3=a（0﹣2）2﹣1，

解得a=2．

故答案是：（0，3）；2；

（2）①設(shè)直線BD的解析式為y=kx+b（k≠0），由于直線BD經(jīng)過(guò)D（0，﹣1），B（4，3），

則，

解得，

故直線BD的解析式為y=x﹣1．

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，x2﹣4x+3），則點(diǎn)H（x，x﹣1），點(diǎn)G（x，3）．

i）當(dāng)x≥1且x≠4時(shí)，點(diǎn)G在PH的延長(zhǎng)線上，如圖2．

∵PH=2GH，

∴（x﹣1）﹣（x2﹣4x+3）=2[3﹣（x﹣1）]，

∴x2﹣7x+12=0，

解得x1=3，x2=4．

當(dāng)x2=4時(shí)，點(diǎn)P，H，G重合于點(diǎn)B，舍去．

∴x=3．

∴此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3，0）．

ii）當(dāng)0＜x＜1時(shí)，點(diǎn)G在PH的反向延長(zhǎng)線上，如圖3，PH=2GH不成立．

iii）當(dāng)x＜0時(shí)，點(diǎn)G在線段PH上，如圖4．

∵PH=2GH，

∴（x2﹣4x+3）﹣（x﹣1）=2[3﹣（x﹣1）]，

∴x2﹣3x﹣4=0，解得x1=﹣1，x2=4（舍去），

∴x=﹣1．此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣1，8）．

綜上所述可知，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3，0）或（﹣1，8）．

②如圖5，令x2﹣4x+3=0，得x1=1，x2=3，

∴E（1，0），F（3，0），

∴EF=2．

∴S△AEF=EFOA=3．

∵△KPH∽△AEF，

∴=（）2，

∴S△KPH=PH2=（﹣x2+5x﹣4）2．

∵1＜x＜4，

∴當(dāng)x=時(shí)，S△KPH的最大值為．