Question

【題目】如圖1，拋物線y＝ax2+bx+c的圖象與x軸交于A（﹣3，0）、B（1，0）兩點，與y軸交于點C，且OC＝OA．

（1）求拋物線解析式；

（2）過直線AC上方的拋物線上一點M作y軸的平行線，與直線AC交于點N．已知M點的橫坐標為m，試用含m的式子表示MN的長及△ACM的面積S，并求當MN的長最大時S的值；

（3）如圖2，D（0，﹣2），連接BD，將△OBD繞平面內(nèi)的某點（記為P）逆時針旋轉(zhuǎn)180°得到△O′B′D′，O、B、D的對應點分別為O′、B′、D′．若點B′、D′兩點恰好落在拋物線上，求旋轉(zhuǎn)中心點P的坐標．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2﹣2x+3；（2）MN＝﹣m2﹣3m（﹣3＜m＜0），S△ACM＝，m＝﹣時，MN最大，此時S＝；（3）P（-，）．

【解析】

（1）先求出點A坐標，再運用待定系數(shù)法求解即可；

（2）先求出直線AC的解析式，待定點M，N的坐標，用m表示線段MN的長度，運用二次函數(shù)分析其最值即可；

（3）根據(jù)中心對稱的性質(zhì)，明確B′D′與BD平行且相等，待定點B′、D′的坐標，代入拋物線解析式求解即可得出B′、D′的坐標，而后運用中點公式求出中心的坐標即可；

解：（1）由A（﹣3，0），且OC＝OA可得

A（﹣3，0）

設(shè)拋物線解析式為y＝a（x+3）（x﹣1），

將C（0，3）代入解析式得，﹣3a＝3，解得a＝﹣1，

∴拋物線解析式為y＝﹣x2﹣2x+3．

（2）如圖1，

設(shè)直線AC解析式為y＝kx+d

∵A（﹣3，0），C（0，3），

∴ ，

解得 ，

∴直線AC解析式為y＝x+3，

設(shè)M（m，﹣m2﹣2m+3），則N（m，m+3），則MN＝﹣m2﹣2m+3﹣（m+3）＝﹣m2﹣3m（﹣3＜m＜0），

S△ACM＝S△AMN+S△CMN＝MN×3＝，

MN＝﹣m2﹣3m＝﹣+，

∵a＝﹣1＜0，﹣3＜m＝﹣1.5＜0，

∴m＝﹣時，MN最大，此時S＝；

（3）如圖2中，旋轉(zhuǎn)180°后，對應線段互相平行且相等，則BD與B′D′互相平行且相等．

∵O′B′＝OB＝1，O′D′＝OD＝2，

設(shè)B′（t，﹣t2﹣2t+3），則D′（t+1，﹣t2﹣2t+3+2）

∵D′在拋物線上，則﹣（t+1）2﹣2（t+1）+3＝﹣t2﹣2t+3+2，

解得，t＝-，則B′的坐標為（-，），

P是點B（1，0）和點B′（-，），的對稱中心，

，，

∴P（-，）．