Question

【題目】如圖，已知等邊△ABC 和等邊△BPE，點 P 在 BC 的延長線上，EC 的延長線交 AP 于點 M，連接 BM；下列結論：①AP＝CE；②∠PME＝60°；③BM 平分∠AME；④AM+MC＝BM，其中正確的有____________________（填序號）．

Answer 1

【答案】①②③④

【解析】

分別利用全等三角形的判定方法以及其性質得出對應角以及對應邊關系進而分別分析得出答案．

證明：①∵等邊△ABC 和等邊△BPE，

∴AB＝BC，∠ABC＝∠PBE＝60°，BP＝BE， 在△APB 和△CEB 中

∴△APB≌△CEB （SAS），

∴AP＝CE，故此選項正確；

②∵△APB≌△CEB，

∴∠APB＝∠CEB，

∵∠MCP＝∠BCE，

則∠PME＝∠PBE＝60°，故此選項正確；

③作 BN⊥AM 于 N， BF⊥ME 于 F，

∵△APB≌△CEB，

∴∠BPN＝∠FEB，

在△BNP 和△BFE 中，

∵

∴△BNP≌△BFE（AAS），

∴BN＝BF，

∴BM 平分∠AME，故此選項正確；

④在 BM 上截取 BK＝CM，連接 AK． 由②知∠PME＝60°，

∴∠AMC＝120°

由③知：BM 平分∠AME

∴∠BMC＝∠AMK＝60°

∴∠ABK+∠PBM＝60°＝∠PBM+∠ACM

∴∠ACM＝∠ABK，

在△ABK 和△ACM 中

∴△ACM≌△ABK（SAS），

∴AK＝AM，

∴△AMK 為等邊三角形，則 AM＝MK， 故 AM+MC＝BM，故此選項正確；故答案為：①②③④．