Question

如圖，△ABC中，D為邊AC的中點，過點D作MN∥BC，CE平分∠ACB交MN于E，CF平分∠ACG交MN于F，求證：（1）ED=DF；（2）四邊形AECF為矩形．

Answer 1

證明：（1）∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACG，
∴∠ACE=∠ECB，∠ACF=∠FCG，
又∵MN∥BG，
∴∠DEC=∠ECB，∠DFC=∠FCG，
∴∠DEC=∠DCE，∠DFC=∠DCF，
∴DE=DC，DF=DC，
∴DE=DF．

（2）∵D為AC的中點，
∴AD=DC，
又DE=DF，
∴四邊形AECF為平行四邊形，
∵∠ACE=∠ECB，∠ACF=∠FCG，
∴∠ECF=90°，
∴平行四邊形AECF為矩形．
分析：（1）由角的平分線的性質(zhì)得到∠ACE=∠ECB，∠ACF=∠FCG，由平行線的性質(zhì)得到∠DEC=∠ECB，∠DFC=∠FCG，等量代換得到∠DEC=∠DCE，∠DFC=∠DCF，由等角對等邊得到DE=DC，DF=DC，故有DE=DF．
（2）由于點D是AC和EF的中點，即有四邊形AECF為平行四邊形，再由∠ECF=90°，可知平行四邊形AECF為矩形．
點評：本題考查的是平行線、角平分線及矩形的性質(zhì)，比較簡單．