Question

【題目】如圖，拋物線y=x2+2x+k+1與x軸交與A、B兩點，與y軸交與點C（0，-3）．

（1）求拋物線的對稱軸及k的值；

（2）求拋物線的對稱軸上存在一點P，使得PA+PC的值最小，求此時點P的坐標(biāo)；

（3）點M是拋物線上的一動點，且在第三象限．

①當(dāng)M點運動到何處時，△AMB的面積最大？求出△AMB的最大面積及此時點M的坐標(biāo)．

②當(dāng)M點運動到何處時，四邊形AMCB的面積最大？求出四邊形AMCB的最大面積及此時點M的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）y=（x+1）2-4，直線x=-1（2）（-1，-2）（3）當(dāng)點M的坐標(biāo)為（-，-）時，四邊形AMCB的面積最大，最大值為

【解析】

（1）由拋物線y=x2+2x+k+1與y軸交于點C（0，-3），即可將點C的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，解方程即可求得k的值，由拋物線y=x2+2x+k+1即可求得拋物線的對稱軸為：x=-1；

（2）連接AC交拋物線的對稱軸于點P，則PA+PC的值最小，求得A與C的坐標(biāo)，設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b，利用待定系數(shù)法即可求得直線AC的解析式，則可求得此時點P的坐標(biāo)；

（3）①設(shè)點M的坐標(biāo)為：（x，（x+1）2-4），即可得S△AMB=×4×|（x+1）2-4|，由二次函數(shù)的最值問題，即可求得△AMB的最大面積及此時點M的坐標(biāo)；

②設(shè)點M的坐標(biāo)為：（x，（x+1）2-4），然后過點M作MD⊥AB于D，由S四邊形ABCM=S△OBC+S△ADM+S梯形OCMD，根據(jù)二次函數(shù)的最值問題的求解方法，即可求得四邊形AMCB的最大面積及此時點M的坐標(biāo)．

（1）∵拋物線y=x2+2x+k+1與y軸交于點C（0，-3），

∴-3=1+k，

∴k=-4，

∴拋物線的解析式為：y=（x+1）2-4，

∴拋物線的對稱軸為：直線x=-1；

（2）

如圖1，連接AC交拋物線的對稱軸于點P，則PA+PC的值最小，

當(dāng)y=0時，（x+1）2-4=0，

解得：x=-3或x=1，

∵A在B的左側(cè)，

∴A（-3，0），B（1，0），

設(shè)直線AC的解析式為：y=kx+b，則

，

解得，

∴直線AC的解析式為：y=-x-3，

當(dāng)x=-1時，y=-（-1）-3=-2，

∴點P的坐標(biāo)為：（-1，-2）；

（3）如圖2，點M是拋物線上的一動點，且在第三象限，

∴-3＜x＜0；

①設(shè)點M的坐標(biāo)為：（x，（x+1）2-4），

∵AB=1-（-3）=4，

∴S△AMB=×4×|（x+1）2-4|=2|（x+1）2-4|，

∵點M在第三象限，

∴S△AMB=8-2（x+1）2，

∴當(dāng)x=-1時，即點M的坐標(biāo)為（-1，-4）時，△AMB的面積最大，最大值為8；

②設(shè)點M的坐標(biāo)為：（x，（x+1）2-4），

如圖3，過點M作MD⊥AB于D，則

S四邊形ABCM=S△OBC+S△ADM+S梯形OCMD

=×3×1+×（3+x）×[4-（x+1）2]+×（-x）×[3+4-（x+1）2]

=-（x2+3x-4）

=-（x+）2+，

∴當(dāng)x=-時，y=（-+1）2-4=-，

即當(dāng)點M的坐標(biāo)為（-，-）時，四邊形AMCB的面積最大，最大值為．