Question

如圖（1），點(diǎn)M、N分別是正方形ABCD的邊AB、AD的中點(diǎn)，連接CN、DM．

（1）判斷CN、DM的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系，并說明理由；

（2）如圖（2），設(shè)CN、DM的交點(diǎn)為H，連接BH，求證：△BCH是等腰三角形；

（3）將△ADM沿DM翻折得到△A′DM，延長MA′交DC的延長線于點(diǎn)E，如圖（3），求tan∠DEM．

           圖1                  圖2                  圖3

Answer 1

（1）CN＝DM，CN⊥DM，

      證明：∵點(diǎn)M、N分別是正方形ABCD的邊AB、AD的中點(diǎn)

            ∴AM＝DN.AD＝DC.∠A＝∠CDN

            ∴△AMD≌△DNC，

            ∴CN＝DM．∠CND＝∠AMD

           ∴∠CND+∠NDM＝∠AMD+∠NDM＝90⁰

           ∴CN⊥DM

           ∴CN＝DM，CN⊥DM

（2）證明：延長DM、CB交于點(diǎn)P．

∵ AD∥BC ，∴∠MPC＝∠MDA，∠A＝∠MBP

∵ MA＝MB △AMD≌△BMP，∴ BP＝AD＝BC．

    ∵∠CHP＝90⁰  ∴BH＝BC，即△BCH是等腰三角形

（3）∵AB∥DC  ∴∠EDM＝∠AMD＝∠DME   ∴EM＝ED

     設(shè)AD＝A′D＝4k，則A′M＝AM＝2k，

     ∴DE＝EA′+2k．在Rt△DA′E中，A′D²+A′E²＝DE²

         ∴（4k）²+A′E²＝（EA′+2k）²解得A′E＝3k，

     ∴tan∠DEM＝A′D：A′E＝．