Question

如圖①，矩形紙片ABCD的邊長分別為a、b（a＜b），點M、N分別為邊AD、BC上兩點(點A、C除外)，連結MN.
（1）如圖②，分別沿ME、NF將MN兩側紙片折疊，使點A、C分別落在MN上的A’、C’處，直接寫出ME與FN的位置關系；
（2）如圖③，當MN⊥BC時，仍按（1）中的方式折疊，請求出四邊形A’EBN與四邊形C’FDM
的周長（用含a的代數(shù)式表示），并判斷四邊形A’EBN與四邊形C’FDM周長之間的數(shù)量關系；
（3）如圖④，若對角線BD與MN交于點O，分別沿BM、DN沿ME、NF將MN兩側紙片折疊，折疊后，點A、C恰好都落在點O處，并且得到的四邊形BNDM是菱形，請你探索a、b之間的數(shù)量關系；
（4）在（3）情況下，當a=時，求菱形BNDM的面積.

Answer 1

（1）平行
（2）相等
（3）
（4）

(1) ME∥FN    ………………2分
(2) ∵由折疊得知：A’E=AE， 四邊形A’EBN是矩形，
∴四邊形A’EBN的周長=2（A’E＋EB）=2（AE＋EB）=2AB=2a，…3分
同理，四邊形C’FDM的周長=2a，
∴四邊形A’EBN的周長=四邊形C’FDM的周長 ………………4分
(3) ∵△OND是由△CND折疊得到的，
∴OD="CD=a,                                   "
同理，OB=a,
∴BD="2a     " ………………6分
在△BCD中，∠C=90°，由勾股定理得，
BC2＋CD2=BD2，
∴b2＋a2=(2a)2
∴.    ………………7分
（4）當a=時，CD=，BC=3
在菱形BNDM中，DN=BN
設DN=BN=x,則CN=3－x .在△DCN中，∠C=90°，由勾股定理得，
NC2＋CD2=ND2， ………………8分
∴，
解得，，
∴ 菱形BNDM的面積=………………9分.
(其它解法可自行參照上述標準給分)