Question

24、如圖，△ABC中，D為邊AC的中點，過點D作MN∥BC，CE平分∠ACB交MN于E，CF平分∠ACG交MN于F．
（1）求證：ED=DF；
（2）若CE=CF，試判斷△ABC的形狀？

Answer 1

分析：（1）利用角平分線的定義和平行線的性質(zhì)得到∠DEC=∠DCE，∠DFC=∠DCF，從而可判定DE=DF；
（2）先判定四邊形AECF是矩形，再根據(jù)條件證明其為正方形，利用正方形對角線互相垂直可知AC⊥BC，即可判斷△ABC為直角三角形．

解答：（1）證明：∵CE平分∠ACB交MN于E，CF平分∠ACG交MN于F，
∴∠DCE=∠BCE，∠DCF=∠FCG．
∵MN∥BC，
∴∠DEC=∠ECB，∠DFC=∠FCG．
∴∠DEC=∠DCE，∠DFC=∠DCF．
∴DE=DC，DC=DF．
∴DE=DF．

（2）解：由（1）可知DE=DF，
∵D為邊AC的中點，
∴AD=DC．
∴四邊形AECF是矩形．
∵CE=CF，
∴四邊形AECF是正方形．
∴AC⊥EF．
∵MN∥BC，
∴AC⊥BC．
∴△ABC是直角三角形．

點評：主要考查了直角三角形的判定，角平分線的定義以及正方形的判定和性質(zhì)．這些性質(zhì)定理要求熟練掌握，并會靈活運用．