Question

12、已知正整數m，n都是質數，并且7m+n，mn+11也是質數，試求（mⁿ）ⁿ+（n^m）^m的值．

Answer 1

分析：先根據已知條件判斷出mn為偶數，再由m、n為質數可知m，n中至少有一個為2，再分m=n=2、m=2、m=2三種情況進行討論，求出符合條件的m、n的值，再代入所求代數式進行計算．

解答：解：∵mn+11為質數，且mn+11＞11，
∴mn+11為奇質數，
故mn為偶數，又m，n為質數，所以m，n中至少有一個為2．（5分）
（1）當m=n=2時，mn+11=15不為質數，矛盾．（10分）
（2）當m=2，n≠2時，由n+14，2n+11均為質數可知n=3，
否則，當n=3k+1（k為正整數）時，n+14=3k+15=3（k+5）為合數，矛盾；
當n=3k+2時，2n+11=6k+15=3（2k+5）為合數，矛盾；
故n=3，此時，mn+11=17，7m+n=17均為質數，符合題意．（15分）
（3）當n=2時，mn+11=2m+11，7m+n=7m+2，它們均為質數，此時必有m=3，
否則令m=3k+1，mn+11=6k+12=6（k+2）為合數，矛盾；
令m=3k+2，7m+n=21k+9=3（7k+3）為合數，矛盾；
故m=3．（20分）
所以（m，n）=（2，3），（3，2）．
所以（mⁿ）ⁿ+（n^m）^m=593．（25分）
故答案為：593．

點評：本題考查的是質數與合數的概念，解答此題的關鍵是熟知2既是質數又是偶數這一知識點．