Question

如圖，四邊形ABCD是矩形，點P是直線AD與BC外的任意一點，連接PA、PB、PC、PD．請解答下列問題：
（1）如圖1，當點P在線段BC的垂直平分線MN上（對角線AC與BD的交點Q除外）時，證明△PAC≌△PDB；
（2）如圖2，當點P在矩形ABCD內(nèi)部時，求證：PA²+PC²=PB²+PD²；
（3）若矩形ABCD在平面直角坐標系xOy中，點B的坐標為（1，1），點D的坐標為（5，3），如圖3所示，設(shè)△PBC的面積為y，△PAD的面積為x，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

解：（1）作BC的中垂線MN，在MN上取點P， 連接PA、PB、PC、PD，如圖1所示， ∵MN是BC的中垂線， ∴PA=PD，PC=PB， 又∵四邊形ABCD是矩形， ∴AC=DB， 即， ∴△PAC≌△PDB（SSS）； （2）證明：過點P作KG∥BC，如圖2， ∵四邊形ABCD是矩形， ∴AB⊥BC，DC⊥BC， ∴AB⊥KG，DC⊥KG， ∴在Rt△PAK中，PA2=AK2+PK2， 同理，PC2=CG2+PG2，PB2=BK2+PK2，PD2=+DG2+PG2， PA2+PC2=AK2+PK2+CG2+PG2，PB2+PD2=BK2+PK2+DG2+PG2． AB⊥KG，DC⊥KG，AD⊥AB，可證得四邊形ADGK是矩形， ∴AK=DG，同理CG=BK， ∴AK2=DG2，CG2=BK2， ∴PA2+PC2=PB2+PD2； （3）∵點B的坐標為（1，1），點D的坐標為（5，3）， ∴BC=4，AB=2， ∴S矩形ABCD=4×2=8， 直線HI垂直BC于點I，交AD于點H， 當點P在直線AD與BC之間時， S△PAD+S△PBC=BC·HI=4， 即x+y=4，因而y與x的函數(shù)關(guān)系式為y=4﹣x； 當點P在直線AD上方時， S△PBC﹣S△PAD=BC·HI=4， 因而y與x的函數(shù)關(guān)系式為y=4+x； 當點P在直線BC下方時， S△PAD﹣S△PBC=BC·HI=4， y與x的函數(shù)關(guān)系式為y=x﹣4．

圖1 圖2 圖3