Question

（2012•昌平區(qū)一模）如圖，已知拋物線y=ax²+bx+c與x軸交于A（-1，0）、B（3，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，3）．
（1）求拋物線的解析式及頂點(diǎn)M坐標(biāo)；
（2）在拋物線的對(duì)稱軸上找到點(diǎn)P，使得△PAC的周長(zhǎng)最小，并求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）若點(diǎn)D是線段OC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)O、C重合）．過(guò)點(diǎn)D作DE∥PC交x軸于點(diǎn)E．設(shè)CD的長(zhǎng)為m，問(wèn)當(dāng)m取何值時(shí)，S_△PDE=

1

9

S_{四邊形ABMC}．

Answer 1

分析：（1）利用待定系數(shù)法將A（-1，0）、B（3，0），C（0，3）三點(diǎn)代入解析式求出即可，再利用配方法求出頂點(diǎn)坐標(biāo)即可；
（2）利用點(diǎn)A、B關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，連接BC與拋物線對(duì)稱軸交于一點(diǎn)，即為所求點(diǎn)P，再利用△PHB∽△CBO求出P點(diǎn)坐標(biāo)即可；
（3）首先利用A（-1，0）B（3，0），C（0，3），M（1，4）求出S_{四邊形ABMC}，進(jìn)而得出S_△PDE=1，利用S_△PDE=S_{四邊形PDOE}-S_△DOE求出m的值即可．

解答：解：（1）∵拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）過(guò)A（-1，0）、B（3，0），C（0，3）三點(diǎn)，
∴

9a+3b+3=0 a-b+3=0

，
解得

a=-1 b=2

．
故拋物線的解析式為y=-x²+2x+3=-（x-1） ²+4，
故頂點(diǎn)M為（1，4）．  

（2）如圖1，∵點(diǎn)A、B關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，
∴連接BC與拋物線對(duì)稱軸交于一點(diǎn)，即為所求點(diǎn)P．
設(shè)對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)H，
∵PH∥y軸，
∴△PHB∽△COB．
∴

PH

CO

=

BH

BO

．
由題意得BH=2，CO=3，BO=3，
∴PH=2．
∴P（1，2）．                

（3）如圖2，∵A（-1，0），B（3，0），C（0，3），M（1，4），
∴S_{四邊形ABMC}=S_△AOC+S_梯形COHM+S_△MHB=

1

2

×1×3+

1

2

（3+4）×1+

1

2

×4×2=9．
∵S_{四邊形ABMC}=9S_△PDE，
∴S_△PDE=1．
∵OC=OB，
∴∠OCB=∠OBC=45°．
∵DE∥PC，
∴∠ODE=∠OED=45°．
∴OD=OE=3-m．
∵S_{四邊形PDOE}=

9

2

-

3

2

m，
∴S_△PDE=S_{四邊形PDOE}-S_△DOE=-

1

2

m2+

3

2

m（0＜m＜3）．
∴-

1

2

m2+

3

2

m=1．
解得m₁=1，m₂=2．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式以及相似三角形的判定與性質(zhì)和四邊形面積求法等知識(shí)，利用數(shù)形結(jié)合得出S_{四邊形PDOE}是解題關(guān)鍵．