Question

在Rt△ABC中，BC=9，CA=12，∠ABC的平分線BD交AC與點D，DE⊥DB交AB于點E．
（Ⅰ）設⊙O是△BDE的外接圓，求證：AC是⊙O的切線；
（Ⅱ）求⊙O的半徑；
（Ⅲ）設⊙O交BC于點F，連接EF，求

EF

AC

的值．

Answer 1

分析：（1）連接OD，由于BD是∠ABC的角平分線，那么弧DE=弧DF，而OD是半徑，根據(jù)垂徑定理可知OD⊥EF，而DE⊥DB，易知BE是直徑，從而可知∠BFE=90°，易證OD∥BC，又知∠ACB=90°，易得ADO=90°，進而可證AD是⊙O的切線；
（2）先設⊙O的半徑是x，在Rt△ABC中，利用勾股定理可求AB=15，那么AO=15-x，而OD∥BC，可得AO：AB=OD：BC，
即（15-x）：15=x：9，解即可；
（3）由于BE是直徑，那么∠BFE=90°，從而有∠ACB=∠BFE，易證EF∥AC，從而有EF：AC=BE：AB，可求

EF

AC

．

解答：（1）證明：如右圖所示，連接OD，
∵BD是∠ABC的角平分線，
∴弧DE=弧DF，
又∵OD是半徑，
∴OD⊥EF，
∵DE⊥DB，
∴∠BDE=90°，
∴BE是直徑，
∴∠BFE=90°，
∴EF⊥BC，
∴OD∥BC，
又∵∠ACB=90°，
∴∠ADO=∠ACB=90°，
∴AD是⊙O的切線；

（2）解：設⊙O的半徑是x，
在Rt△ABC中，AB=

BC2+AC2

=15，
∴AO=15-x，
∵OD∥BC，
∴AO：AB=OD：BC，
∴（15-x）：15=x：9，
解得x=

45

8

；

（3）解：∵BE是直徑，
∴∠BFE=90°，
∴∠ACB=∠BFE，
∴EF∥AC，
∴EF：AC=BE：AB，
∴

EF

AC

=

45 8 ×2

15

=

3

4

．

點評：本題考查了垂徑定理、切線的判定、勾股定理、平行線分線段成比例定理、平行的判定和性質．解題的關鍵是連接OD，并證明OD∥BC．