Question

如圖，已知一次函數(shù)y=kx+1（k≠0）的圖象與x軸、y軸分別交于A、B兩點，且與反比例函數(shù)的圖象在第一象限交于C點，C點的橫坐標為2．
（1）一次函數(shù)的解析式；
（2）求△AOC的面積；
（3）P是x軸上一動點，是否存在點P，使得由A、P、C三點構(gòu)成的三角形是直角三角形？若存在，求出P點坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）因為反比例函數(shù)的圖象過C點，所以可求C點坐標，再求一次函數(shù)的解析式；
（2）根據(jù)直線解析式求A點坐標再求△AOC的面積；
（3）存在．以AC為直角邊時，當AC為直角邊時，由于∠ACP₂=∠AP₁C=∠CP₁P₂=90°可以推出△ACP₁∽△CP₂P₁，然后利用相似三角形的性質(zhì)即可求出P₁P₂，就可以求出P的坐標；當以AC為斜邊時，就可以直接得到P的坐標．
解答：解：（1）∵反比例函數(shù)的圖象過C點，C點的橫坐標為2，
∴C（2，2），
∵一次函數(shù)y=kx+1過C點，
∴2=2k+1，
∴k=，
∴一次函數(shù)的解析式為y=x+1；

（2）當y=0時，x+1=0，
∴x=-2，
∴A（-2，0），
由圖象得S_△AOC=×2×2=2；

（3）如圖，
當AC為斜邊時，P₁（2，0）；
當AC為直角邊時，
∵∠ACP₂=∠AP₁C=∠CP₁P₂=90°，
∴△ACP₁∽△CP₂P₁，
∴CP₁²=AP₁•P₁P₂，
而AP₁=4，CP₁=2，
∴P₁P₂=1，
∴OP₂=3，
∴P₂（3，0）．
故P點坐標（2，0）或（3，0）．
點評：此題運用了分類討論的思想方法，通過分類討論才能比較全面的分析問題，解決問題．此題主要考查了反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)．