Question

【題目】如圖，將OA=6，AB=4的矩形OABC放置在平面直角坐標系中，動點M、N以每秒1個單位的速度分別從點A、C同時出發(fā)，其中點M沿AO向終點O運動，點N沿CB向終點B運動，當兩個動點運動了t秒時，過點N作NP⊥BC，交OB于點P，連接MP．

（1）點B的坐標為；用含t的式子表示點P的坐標為；
（2）記△OMP的面積為S，求S與t的函數(shù)關(guān)系式（0＜t＜6），并求當t為何值時，S有最大值？
（3）試探究：在上述運動過程中，是否存在點T，使直線MT把△ONC分割成三角形和四邊形兩部分，且三角形的面積是△ONC的 ？若存在，求出點T的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）（6，4）；（t， t）
（2）

解：∵S△OMP= ×OM× t，

∴S= ×（6﹣t）× t=﹣ t2+2t=﹣ （t﹣3）2+3（0＜t＜6）．

∴當t=3時，S有最大值．

（3）

解：存在．理由如下：

由（2）得，當S有最大值時，點M、N的坐標分別為：M（3，0），N（3，4），

則直線ON的函數(shù)關(guān)系式為：y= x．

設(shè)點T的坐標為（0，b），則直線MT的函數(shù)關(guān)系式為：y=﹣ x+b，

解方程組 得 ，

∴直線ON與MT的交點R的坐標為（ ， ），

∵S△OCN= ×4×3=6，

∴S△ORT= S△OCN=2，

①當點T在點O、C之間時，分割出的三角形是△OR1T1，

如圖2所示，作R1D1⊥y軸，D1為垂足，則S△OR1T1= RD1OT= b=2．

∴3b2﹣4b﹣16=0，

解得：b= （負值舍去）．

∴b= ，

此時點T1的坐標為（0， ）．

②當點T在OC的延長線上時，分割出的三角形是△R2NE，如圖，設(shè)MT交CN于點E，

由①得點E的橫坐標為 ，作R2D2⊥CN交CN于點D2，則

S△R2NE= ENR2D2= （3﹣ ）（4﹣ = =2．

∴b2+4b﹣48=0，

解得：b=±2 ﹣2（負值舍去）．

∴b=2 ﹣2．

∴此時點T2的坐標為（0，2 ）．

綜上所述，在y軸上存在點T1（0， ），T2（0，2 ﹣2）符合條件．

【解析】解：（1）延長NP交OA于H，如圖1所示：
∵矩形OABC，
∴BC∥OA，∠OCB=90°，
∵PN⊥BC，
∴NH∥OC，
∴四邊形CNHO是平行四邊形，
∴OH=CN，
∵OA=6，AB=4，
∴點B的坐標為（6，4）；
由圖可得，點P的橫坐標=0H=CN=t，縱坐標=4﹣NP，
∵NP⊥BC，
∴NP∥OC，
∴NP：OC=BN：CB，
即NP：4=（6﹣t）：6，
∴NP=4﹣ t，
∴點P的縱坐標=4﹣NP= t，
則點P的坐標為（t， t）；
所以答案是：（6，4）；（t， t）；
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件，利用二次函數(shù)的最值和平行四邊形的判定與性質(zhì)的相關(guān)知識可以得到問題的答案，需要掌握如果自變量的取值范圍是全體實數(shù)，那么函數(shù)在頂點處取得最大值（或最小值），即當x=-b/2a時，y最值=(4ac-b2)/4a；若一直線過平行四邊形兩對角線的交點，則這條直線被一組對邊截下的線段以對角線的交點為中點，并且這兩條直線二等分此平行四邊形的面積．