Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y=x+8的圖象與x軸，y軸交于A、B兩點(diǎn)，OD=OB，AC=AB，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥OA于點(diǎn)E，點(diǎn)M從點(diǎn)C出發(fā)，沿CD方向運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)M作MN⊥OA于點(diǎn)N，過(guò)點(diǎn)N作NP∥AB，交OB于點(diǎn)P，當(dāng)點(diǎn)N與點(diǎn)O重合時(shí)點(diǎn)M停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)AN=a．
（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）用含a的代數(shù)式表示NP；
（3）是否存在點(diǎn)M，使△MNP為等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出所有滿足要求的a的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）先求出一次函數(shù)y=x+8的圖象與x軸，y軸的交點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，得到OA=6，OB=8，由勾股定理求出AB=10，再由已知條件得出CE=OD=2，AC=，運(yùn)用勾股定理求出AE，進(jìn)而得到點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）先由OD=OB，AC=AB，證明NP∥AB，再根據(jù)平行線分線段成比例定理得出，即可用含a的代數(shù)式表示NP；
（3）因?yàn)橛梢阎獥l件得出a=4.5時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)D重合，所以分兩種情況討論：①0≤a＜4.5，②4.5＜a＜6，兩種情況都可以先由NP∥AB，得出，則用含a的代數(shù)式表示出OP，求出PD，再由勾股定理表示出PM²，然后根據(jù)腰長(zhǎng)相等列出關(guān)于a的方程，解方程檢驗(yàn)即可．
解答：解：（1）∵一次函數(shù)y=x+8的圖象與x軸，y軸交于A、B兩點(diǎn)，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為：（6，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為：（0，8），
∴OA=6，OB=8，
∴AB==10，
∴OD=OB=2，AC=AB=，
∴OD：OB=AC：AB=1：4，
∴CD∥OA，
∵CE⊥OA，MN⊥OA，OA⊥OB，
∴四邊形ODCE與四邊形ODMN是矩形，
∴MN=CE=OD=2，DM=ON，
∴AE==，
∴OE=OA-AE=6-=，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為：（，2）；

（2）∵NP∥AB，
∴，
∵AN=a，
∴ON=OA-AN=6-a，
∴，
解得：NP=；

（3）存在點(diǎn)M，能夠使△MNP為等腰三角形，理由如下：
過(guò)點(diǎn)D作DQ∥AB交OA于Q，則
=，即=，
解得OQ=1.5，
∴AQ=OA-OQ=6-1.5=4.5．
∴當(dāng)a=4.5時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)D重合，此時(shí)△MNP不是等腰三角形．
分兩種情況討論：
①當(dāng)0≤a＜4.5，即點(diǎn)P在點(diǎn)D上方時(shí)，如右圖．
∵NP∥AB，
∴，
∴，
解得：OP=，
∴PD=OP-OD=，
∴PM²=PD²+DM²=（）²+（6-a）²=．
由于PN＞MN，所以當(dāng)△MNP為等腰三角形時(shí)，可能有兩種情況：
當(dāng)PM=MN時(shí)，=4，解得a₁=4.08，a₂=6（不合題意，舍去）；
當(dāng)PM=PN時(shí)，=（）²，解得a=5.25（不合題意，舍去）；
②當(dāng)4.5＜a＜6，即點(diǎn)P在點(diǎn)D下方時(shí)，如右圖．
∵NP∥AB，
∴，
∴，
解得：OP=，
∴PD=OD-OP=，
∴PM²=PD²+DM²=（）²+（6-a）²=．
當(dāng)△MNP為等腰三角形時(shí)，可能有三種情況：
當(dāng)PM=MN時(shí)，=4，解得a₁=4.08，a₂=6（均不合題意，舍去）；
當(dāng)PM=PN時(shí)，=（）²，解得a=5.25；
當(dāng)PN=MN時(shí)，=2，解得a=4.8．
綜上可知，存在點(diǎn)M，能夠使△MNP為等腰三角形，此時(shí)滿足要求的a的值為4.08或4.8或5.25．
點(diǎn)評(píng)：此題屬于一次函數(shù)綜合題，涉及的知識(shí)有：平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)的求法，勾股定理，平行線分線段成比例定理，等腰三角形的性質(zhì)等，利用了數(shù)形結(jié)合及分類討論的數(shù)學(xué)思想，注意問(wèn)題（3）中，要根據(jù)P點(diǎn)的不同位置進(jìn)行分類求解，這是解決本題的關(guān)鍵．