Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系xOy中，函數(shù)的圖象是第二、四象限的角平分線．

（1）實驗與探究：由圖觀察易知A（－1，3）關(guān)于直線的對稱點的坐標為（－3，1），請你寫出點B（5，3）關(guān)于直線的對稱點的坐標為 ；

（2）歸納與發(fā)現(xiàn)：結(jié)合圖形，自己選點再試一試，通過觀察點的坐標，你會發(fā)現(xiàn)：坐標平面內(nèi)任一點P（m ，n）關(guān)于第二、四象限的角平分線的對稱點的坐標為 ；

（3）運用與拓廣：已知兩點C（6 ， 0），D（2 ， 4），試在直線上確定一點，使這點到C，D兩點的距離之和最小，在圖中畫出這點的位置，保留作圖痕跡，并求出這點的坐標．

Answer 1

【答案】（1）（－3，－5）．（2）（－n，－m）．（3）作圖參見解析，E（1 ，－1）．

【解析】試題分析：（1）由觀察得知，關(guān)于直線的對稱點的坐標，橫縱坐標顛倒，且是原數(shù)的相反數(shù)即B′（-3，-5）；（2）通過選點驗證，坐標平面內(nèi)任一點P（m ,n）關(guān)于第二、四象限的角平分線的對稱點的坐標為（-n,-m）；（3）先描點，在坐標平面內(nèi)找到C,D兩點，然后在直線上確定一點E，，使這點到C，D兩點的距離之和最小，作點C關(guān)于直線 L的對稱點，連接D，交 L于點E，由線段垂直平分線性質(zhì)和兩點之間線段最短可知E點即為所求，根據(jù)前面的規(guī)律把C′點坐標寫出來，再把DC′的解析式求出來，和直線y=-x組成方程組求解，

試題解析：（1）由觀察得知，關(guān)于直線的對稱點的坐標，橫縱坐標顛倒，且是原數(shù)的相反數(shù)，B（5,3）顛倒后是（3,5），再是原數(shù)的相反數(shù)是（-3，-5），∴（－3，－5）．（2）通過選點驗證，坐標平面內(nèi)任一點P（m ,n）關(guān)于第二、四象限的角平分線的對稱點為（－n，－m）；（3）如圖，作點C關(guān)于直線 L的對稱點，連接D，交 L于點E，連接CE．由作圖可知，EC= E，∴EC + ED = E+ ED =D ．因為兩點之間線段最短，∴點E為所求．∵C（6，0），∴（0，－6）．設(shè)直線D的解析式為．∵D（2 , 4），∴．∴直線D的解析式為．由得，∴E（1 , －1）．