Question

（2013•貴港）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=ax²+bx+c交y軸于點(diǎn)C（0，4），對(duì)稱(chēng)軸x=2與x軸交于點(diǎn)D，頂點(diǎn)為M，且DM=OC+OD．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）設(shè)點(diǎn)P（x，y）是第一象限內(nèi)該拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，△PCD的面積為S，求S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出自變量x的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，若經(jīng)過(guò)點(diǎn)P的直線PE與y軸交于點(diǎn)E，是否存在以O(shè)、P、E為頂點(diǎn)的三角形與△OPD全等？若存在，請(qǐng)求出直線PE的解析式；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）首先求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，然后利用頂點(diǎn)式和待定系數(shù)法求出拋物線的解析式；
（2）如答圖1所示，作輔助線構(gòu)造梯形，利用S=S_梯形PEOC-S_△COD-S_△PDE求出S關(guān)于x的表達(dá)式；求出拋物線與x軸正半軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，得到自變量的取值范圍；
（3）由于三角形的各邊，只有OD=2是確定長(zhǎng)度的，因此可以以O(shè)D為基準(zhǔn)進(jìn)行分類(lèi)討論：
①OD=OP．因?yàn)榈谝幌笙迌?nèi)點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離均大于4，因此OP≠OD，此種情形排除；
②OD=OE．分析可知，只有如答圖2所示的情形成立；
③OD=PE．分析可知，只有如答圖3所示的情形成立．

解答：解：（1）由題意得：OC=4，OD=2，∴DM=OC+OD=6，∴頂點(diǎn)M坐標(biāo)為（2，6）．
設(shè)拋物線解析式為：y=a（x-2）²+6，
∵點(diǎn)C（0，4）在拋物線上，
∴4=4a+6，
解得a=-

1

2

．
∴拋物線的解析式為：y=-

1

2

（x-2）²+6=-

1

2

x²+2x+4．

（2）如答圖1，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥x軸于點(diǎn)E．

∵P（x，y），且點(diǎn)P在第一象限，
∴PE=y，OE=x，
∴DE=OE-OD=x-2．
S=S_梯形PEOC-S_△COD-S_△PDE
=

1

2

（4+y）•x-

1

2

×2×4-

1

2

（x-2）•y
=y+2x-4．
將y=-

1

2

x²+2x+4代入上式得：S=-

1

2

x²+2x+4+2x-4=-

1

2

x²+4x．
在拋物線解析式y(tǒng)=-

1

2

x²+2x+4中，令y=0，即-

1

2

x²+2x+4=0，解得x=2±2

3

．
設(shè)拋物線與x軸交于點(diǎn)A、B，則B（2+2

3

，0），
∴0＜x＜2+2

3

．
∴S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為：S=-

1

2

x²+4x（0＜x＜2+2

3

）．

（3）存在．
若以O(shè)、P、E為頂點(diǎn)的三角形與△OPD全等，可能有以下情形：
（I）OD=OP．
由圖象可知，OP最小值為4，即OP≠OD，故此種情形不存在．
（II）OD=OE．
若點(diǎn)E在y軸正半軸上，如答圖2所示：

此時(shí)△OPD≌△OPE，
∴∠OPD=∠OPE，即點(diǎn)P在第一象限的角平分線上，
∴直線PO的解析式為：y=x；
若點(diǎn)E在y軸負(fù)半軸上，易知此種情形下，兩個(gè)三角形不可能全等，故不存在．
（III）OD=PE．
∵OD=2，
∴第一象限內(nèi)對(duì)稱(chēng)軸右側(cè)的點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離均大于2，
則點(diǎn)P只能位于對(duì)稱(chēng)軸左側(cè)或與頂點(diǎn)M重合．
若點(diǎn)P位于第一象限內(nèi)拋物線對(duì)稱(chēng)軸的左側(cè)，易知△OPE為鈍角三角形，而△OPD為銳角三角形，則不可能全等；
若點(diǎn)P與點(diǎn)M重合，如答圖3所示，此時(shí)△OPD≌OPE，四邊形PDOE為矩形，

∴直線PE的解析式為：y=6．
綜上所述，存在以O(shè)、P、E為頂點(diǎn)的三角形與△OPD全等，直線PE的解析式為y=6．

點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)壓軸題，考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、待定系數(shù)法、一次函數(shù)、全等三角形、圖形面積計(jì)算等知識(shí)點(diǎn)．難點(diǎn)在于第（3）問(wèn)，兩個(gè)三角形中只有一邊為定長(zhǎng)，因此分類(lèi)討論稍顯復(fù)雜，需要仔細(xì)分析．