Question

已知，正方形ABCD中，△BEF為等腰直角三角形，且BF為底，取DF的中點G，連接EG、CG．

（1）如圖1，若△BEF的底邊BF在BC上，猜想EG和CG的數量關系為

 

；
（2）如圖2，若△BEF的直角邊BE在BC上，則（1）中的結論是否還成立？請說明理由；
（3）如圖3，若△BEF的直角邊BE在∠DBC內，則（1）中的結論是否還成立？說明理由．

Answer 1

分析：（1）EG=CG，理由為：根據三角形BEF為等腰直角三角形，得到∠DEF為直角，又G為DF中點，根據在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半，得到EG為DF的一半，同理在直角三角形DCF中，得到CG也等于DF的一半，利用等量代換得證；
（2）成立．理由為：延長EG交CD于M，如圖所示，根據“ASA”得到三角形EFG與三角形GDM全等，由全等三角形的對應邊相等得到EG與MG相等，即G為EM中點，根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得到EG與CG相等都等于斜邊EM的一半，得證；
（3）成立．理由為：取BF的中點H，連接EH，GH，取BD的中點O，連接OG，OC，如圖所示，因為直角三角形DCB中，O為斜邊BD的中點，根據斜邊上的中線等于斜邊的一半得到OC等于BD的一半，由HG為三角形DBF的中位線，根據三角形的中位線平行于第三邊且等于第三邊的一半，得到GH等于BD一半，OG等于BF的一半，又根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得到EH等于BF的一半，根據等量代換得到OG與EH相等，再根據OBHG為平行四邊形，根據平行四邊形的性質得到對邊相等，對角相等，進而得到∠GOC與∠EHG相等，利用“SAS”得到△GOC與△EHG全等，利用全等三角形的對應邊相等即可得證．

解答：解：（1）GC=EG，（1分）理由如下：
∵△BEF為等腰直角三角形，
∴∠DEF=90°，又G為斜邊DF的中點，
∴EG=

1

2

DF，
∵ABCD為正方形，
∴∠BCD=90°，又G為斜邊DF的中點，
∴CG=

1

2

DF，
∴GC=EG；

（2）成立．
如圖，延長EG交CD于M，
∵∠BEF=∠FEC=∠BCD=90°，
∴EF∥CD，
∴∠EFG=∠MDG，
又∠EGF=∠DGM，DG=FG，
∴△GEF≌△GMD，
∴EG=MG，即G為EM的中點．
∴CG為直角△ECM的斜邊上的中線，
∴CG=GE=

1

2

EM；

（3）成立．
取BF的中點H，連接EH，GH，取BD的中點O，連接OG，OC．
∵CB=CD，∠DCB=90°，∴CO=

1

2

BD．
∵DG=GF，
∴GH∥BD，且GH=

1

2

BD，
OG∥BF，且OG=

1

2

BF，
∴CO=GH．∵△BEF為等腰直角三角形．
∴EH=

1

2

BF．∴EH=OG．
∵四邊形OBHG為平行四邊形，
∴∠BOG=∠BHG．∵∠BOC=∠BHE=90°．
∴∠GOC=∠EHG．
∴△GOC≌△EHG．
∴EG=GC．

點評：此題考查了正方形的性質，以及全等三角形的判定與性質．要求學生掌握直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，以及三角形的中位線與第三邊平行且等于第三邊的一半．掌握這些性質，熟練運用全等知識是解本題的關鍵．