Question

【題目】如圖，在矩形中，，點(diǎn)是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將四邊形沿直線(xiàn)折疊，得到四邊形，點(diǎn)、的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)、．直線(xiàn)交于點(diǎn)．

（1）求證：；

（2）連接，已知．

①如圖①，當(dāng)，時(shí)，求的長(zhǎng)度；

②如圖②，當(dāng)四邊形為菱形時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出的長(zhǎng)度．

圖① 圖②

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）①，②3．

【解析】

（1）根據(jù)折疊的性質(zhì)和平行線(xiàn)的性質(zhì)得：，則；

（2）先在Rt△BAH中根據(jù)勾股定理列方程計(jì)算的長(zhǎng)，進(jìn)而求出PH，再在Rt△PFH中求出FH即可；

（3）由四邊形為菱形結(jié)合（1）；可知△BEH為等邊三角形，結(jié)合30°三角形性質(zhì)可得BE= ，進(jìn)而根據(jù)折疊性質(zhì)求出AD．

（1）證明：在矩形ABCD中，AD∥BC,

由將四邊形BCDE沿直線(xiàn)BE折疊，得到四邊形BEFG，

得，∠HBE=∠CBE，

∴∠HEB=∠CBE，

∴∠HBE=∠HEB，

∴EH=BH

(2)①∵AD=6，AE=AD，

∴AE=1，

∵EH=BH，

∴AH=EH-AH=BH-1

又在矩形ABCD中，∠BAD=90°,

∴∠BAH=90°．

在Rt△BAH中,,

∴，

∴．

由將四邊形BCDE沿直線(xiàn)BE折疊，得到四邊形BEFP，

得，BP=BC=AD=6,PF=CD=3,∠FPH=90°

∴，

在Rt△PFH中,．

②AD=3．

理由如下：由將四邊形BCDE沿直線(xiàn)BE折疊，得到四邊形BEFP，可知 ED=EF，

當(dāng)四邊形為菱形時(shí)，則BH=BE=EF，

由（1）可知，EH=BH，

∴△BEH為等邊三角形，

∴∠ABE=60°，

∵∠EAB=90°，，

∴，，

∵AD=AE+ED，ED=EF,

∴