Question

如圖（1），△ABD和△CEF是兩個全等的等腰三角形，AB=AD=CE=CF，固定△ABD．
（1）操作：如圖（2），將△CEF的頂點F固定在△ABD的邊BD的中點處，△CEF繞點F在BD邊上方左右旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)時FC交BA于點H（H點不與B點重合），F(xiàn)E交DA于點G（G點不與D點重合）．求證：△BHF∽△DFG．
（2）操作：如圖（3），△ECF的頂點F在△ABD的邊BD上滑動（F點不與B、D點重合），且CF始終經(jīng)過點A，過點A作AG∥CE，交FE于點G，連接DG．求證：FD+DG=EF=DB．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)菱形的性質(zhì)以及相似三角形的判定證明△BFH∽△DGF即可；
（2）利用已知以及平行線的性質(zhì)證明△ABF≌△ADG，即可證明FD+DG=EF=DB．

解答：證明：（1）∵△ABD和△CEF是兩個全等的等腰三角形，
∴∠B=∠D，∠B=∠HFG，
∵∠HFG+∠GFD=∠B+∠BHF
∴∠GFD=∠BHF，
∴△BFH∽△DGF，

（2）∵AG∥CE，
∴∠AGF=∠E，∠FAG=∠C，
又∵∠E=∠CFE，
∴∠AGF=∠CFE，
∴AF=AG
∵∠BAD=∠C，
∴∠BAD=∠FAG，
∴∠BAD-∠FAD=∠FAG-∠FAD，
即∠BAF=∠DAG
又∵AB=AD
∴△ABF≌△ADG，
∴FB=DG，
∴FD+DG=BD=EF．

點評：此題主要考查了相似三角形的判定以及全等三角形的判定，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出∠BAF=∠DAG是解決問題的關(guān)鍵．