Question

（2006•萊蕪）已知：關(guān)于x的二次函數(shù)y=-x²+（m+2）x-m．
（1）求證：不論m為任何實(shí)數(shù)，二次函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)P總是在x軸的上方；
（2）設(shè)二次函數(shù)圖象與y軸交于A，過(guò)點(diǎn)A作x軸的平行線與圖象交于另外一點(diǎn)B．若頂點(diǎn)P在第一象限，當(dāng)m為何值時(shí)，△PAB是等邊三角形．

Answer 1

【答案】分析：（1）只要求出頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)為正，就能確定頂點(diǎn)P總是在x軸的上方，根據(jù)頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)公式求解；
（2）根據(jù)圖形可以看出，對(duì)稱(chēng)軸把等邊三角形分成兩個(gè)全等的30°的直角三角形，根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)與線段的關(guān)系可以求解．
解答：（1）證明：二次函數(shù)y=-x²+（m+2）x-m中，a=-1，b=m+2，c=-m，
∴頂點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為==＞0，
∴頂點(diǎn)P總在x軸上方；

（2）解：二次函數(shù)y=-x²+（m+2）x-m與y軸交于點(diǎn)A（0，-m），
頂點(diǎn)P（，），
過(guò)P作PC⊥AB于C，則C（，-m），
因?yàn)辄c(diǎn)P在第一象限，所以＞0，
AC=，PC=，
∵△PAB是等邊三角形，
∴∠PAC=60°，
由tan∠PAC=得=（），
整理得：（m+2）²=2（m+2），
∴m+2=2
∴m=2-2，
即m=2-2時(shí)，△PAB是等邊三角形．
點(diǎn)評(píng)：解答此題的關(guān)鍵是求出對(duì)稱(chēng)軸，頂點(diǎn)縱坐標(biāo)，然后由圖象解答，鍛煉了學(xué)生數(shù)形結(jié)合的思想方法．