Question

如圖，已知AB=3，BC=7，CD=．且AB⊥BC，∠BCD=135°．點(diǎn)M是線(xiàn)段BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AM、DM．點(diǎn)M在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，
①當(dāng)AM+DM的值最小時(shí)，BM=    ；
②當(dāng)AM²+DM²的值最小時(shí)，BM=    ．

Answer 1

【答案】分析：（1）延長(zhǎng)AB到E，使BE=AB，連接ED交BC于M，連接AM，則此時(shí)AM+DM的值最小，過(guò)D作DF⊥BC交BC延長(zhǎng)線(xiàn)于F，求出DF，根據(jù)相似求出BM即可；
（2）根據(jù)勾股定理得出AM²=AB²+BM²=3²+x²，DM²=DF²+FM²=5²+（5+7-x）²，相加即可求出答案．
解答：解：（1）延長(zhǎng)AB到E，使BE=AB，連接ED交BC于M，連接AM，則此時(shí)AM+DM的值最小，過(guò)D作DF⊥BC交BC延長(zhǎng)線(xiàn)于F，
∵∠BCD=135°，
∴∠DCF=45°，
∵CD=5，
則CF=CD×cos45°=5，
DF=CF=5，
∵AB⊥BC，DF⊥BC，
∴AE∥DF，
∴△BEM∽△FDM，
∴=．
∴=，
∴BM=，

（2）設(shè)BM=x，
在Rt△ABM中，AM²=AB²+BM²=3²+x²，
∵在Rt△DFM中，DM²=DF²+FM²=5²+（5+7-x）²，
∴AM²+DM²
=9+x²+25+（12-x）²
=2x²-24x+178
=2（x-6）²+106，
∵2＞0，
∴AM²+DM²有最小值，當(dāng)x=6時(shí)，最小值是106，
故答案為：；6．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了軸對(duì)稱(chēng)-最短路線(xiàn)問(wèn)題，勾股定理，二次函數(shù)的最值，相似三角形的性質(zhì)和判定，關(guān)鍵是找出符合條件的點(diǎn)，題目比較好．