Question

【題目】在△ABC中，∠C=90°，∠BAC=60°，△ABC繞點C順時針旋轉，旋轉角為α（0°＜α＜180°），點A、B的對應點分別是點D、E．

（1）如圖1，當點D恰好落在邊AB上時，試判斷DE與AC的位置關系，并說明理由．

（2）如圖2，當點B、D、E三點恰好在一直線上時，旋轉角α=__°，此時直線CE與AB的位置關系是__．

（3）在（2）的條件下，聯(lián)結AE，設△BDC的面積S1，△AEC的面積S2，則S1與S2的數(shù)量關系是_____．

（4）如圖3，當點B、D、E三點不在一直線上時，（3）中的S1與S2的數(shù)量關系仍然成立嗎？試說明理由．

Answer 1

【答案】 （1）DE∥AC (2) 120° EC⊥AB． S1=S2） (4) S1=S2仍然成立

【解析】試題分析：

（1）由旋轉的性質可得∠EDC=∠BAC，DC=AC結合∠BAC=60°，可得△ADC是等邊三角形，從而可得∠DCA=∠EDC=60°，由此可得DE∥AC；

（2）如下圖2，在△ABC中，由∠C=90°，∠BAC=60°可得∠ABC=30°，延長EC交AB于點F，由旋轉的性質可得CE=BE，∠E=∠ABC=30°，結合B、D、E的三點在同一直線上可得∠CBE=∠E=30°，從而可得旋轉角∠BCE=120°，結合∠BCE=∠ABC+∠BFC，∠ABC=30°，可得∠BFC=90°，從而可得EC⊥AB；

（3）如上圖2，過點D作DH⊥BC于點H，由∠DCF=∠ACB=90°易得∠ACF=∠DCH，結合∠AFC=∠DHC=90°，AC=DC可得△ACF≌△DCH，從而可得AF=DH，結合BC=EC即可得到S1=S2；

（4）如下圖3，過D作DH⊥BC于H，過A作AG⊥EC交EC的延長線于G，與（3）同理可得△AGC≌△DHC，從而可得AG=HD，結合EC=BC即可得到S1=S2仍然成立.

試題解析：

（1）DE∥AC．理由：∵△ABC旋轉后與△DCE全等，

∴∠A=∠CDE，AC=DC．

∵∠BAC=60°，AC=DC，

∴△DAC是等邊三角形．

∴∠DCA=60°．

又∵∠CDE=∠BAC=60°，

∴∠DCA=∠CDE=60°，

∴DE∥AC．

（2）120°；EC⊥AB，理由如下：

如下圖2，延長EC交AB于點F，

∵在△ABC中，由∠C=90°，∠BAC=60°，

∴∠ABC=30°，

由旋轉的性質可得：CE=BE，∠E=∠ABC=30°，

∵B、D、E的三點在同一直線上，

∴∠CBE=∠E=30°，

∴旋轉角∠BCE=120°，

又∵∠BCE=∠ABC+∠BFC，∠ABC=30°，

∴∠BFC=120°-30°=90°，

∴EC⊥AB于點F；

（3）S1=S2，理由如下：

如上圖2，連接AE，過點D作DH⊥BC于點H，

∴∠AFC=∠DHC=90°，

∵∠ACB=∠DCE=90°，

∴∠ACF=∠DCH，

又∵AC=DC，

∴△ACF≌△DCH，

∴AF=DH，

又∵EC=BC，

∴CE·AF=BC·DH，即S1=S2；

（4）S1=S2仍然成立，理由如下：

如下圖3所示：過D作DH⊥BC于H，過A作AG⊥EC交EC的延長線于G．

∵DH⊥BC，AG⊥EC，

∴∠AGC=∠DHC=90°

∵△ABC旋轉后與△DCE全等

∴∠ACB=∠DCE=90°，AC=DC，BC=CE．

∵∠ACE+∠BCD=180°，∠GCA+∠ECA=180°，

∴∠ACG=∠DCH，

又∵∠AGC=∠DHC，AC=DC，

∴△AGC≌△DHC，

∴AG=DH，

∴ECAF=CBDG，即S1=S2．