Question

如圖，點(diǎn)O是邊長(zhǎng)為8的正方形ABCD邊AD上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（4＜OA＜8），以O(shè)為圓心、OA長(zhǎng)為半徑的圓交邊CD于點(diǎn)M，連接OM，以CM為邊在正方形ABCD內(nèi)部作∠CMN=∠DOM，直線MN交邊BC于點(diǎn)N.

（1）試說(shuō)明：直線MN是⊙O的切線；
（2）設(shè)DM=x，求OA的長(zhǎng)（用含x的代數(shù)式表示）；
（3）在點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，設(shè)△CMN的周長(zhǎng)為p，試用含x的代數(shù)式表示p，你有什么發(fā)現(xiàn)？

Answer 1

（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)結(jié)合∠CMN=∠DOM，即可得到∠OMN=90°，即可證得結(jié)果；
（2）；（3）p為定值16

試題分析：（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)結(jié)合∠CMN=∠DOM，即可得到∠OMN=90°，即可證得結(jié)果；
（2）設(shè)OA＝y(tǒng)，Rt△ODM中，根據(jù)勾股定理可得DM²＝OM²－DO²＝OA²－DO²，即可得到結(jié)果；
（3）易證△DOM ∽△CMN，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得，即可得到結(jié)果.
（1）∵正方形ABCD
∴∠D=90°
∴∠DOM+∠DMO=90°
∵∠CMN=∠DOM
∴∠CMN+∠DMO=90°
∴∠OMN=90°
∴直線MN是⊙O的切線；
（2）設(shè)OA＝y(tǒng)，Rt△ODM中，DM²＝OM²－DO²＝OA²－DO²，
即x²＝y(tǒng)²－(8－y)²，解得OA＝y(tǒng) ＝； 
（3）易證△DOM ∽△CMN，相似比為，
∴p＝.
∴在點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，△CMN的周長(zhǎng)p為定值16．
點(diǎn)評(píng)：此類(lèi)問(wèn)題綜合性強(qiáng)，難度較大，在中考中比較常見(jiàn)，題目比較典型．