Question

（2005•閘北區(qū)一模）如圖，點(diǎn)G是等邊△ABC的重心，過(guò)點(diǎn)G作BC的平行線，分別交AB、AC于點(diǎn)D、E，點(diǎn)M在BC邊上．如果以點(diǎn)B、D、M為頂點(diǎn)的三角形與以點(diǎn)C、E、M為頂點(diǎn)的三角形相似（但不全等），那么S_△BDM：S_△CEM=

（7+3

5

）：2或（7-3

5

）：2

．

Answer 1

分析：首先由點(diǎn)G是等邊△ABC的重心，DE∥BC，根據(jù)平行線分線段成比例定理與三角形重心的性質(zhì)，即可得AB=BC=AC，∠B=∠C=60°，

BD

AB

=

EC

AC

=

1

3

，然后由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，即可求得答案．

解答：解：∵點(diǎn)G是等邊△ABC的重心，DE∥BC，
∴AB=BC=AC，∠B=∠C=60°，

BD

AB

=

EC

AC

=

1

3

，
∴BD=

1

3

BC，EC=

1

3

BC，
當(dāng)△BDM∽△CME時(shí)，則

BD

CM

=

BM

EC

，
設(shè)BD=a，CM=x，則CE=a，BC=3a，BM=3a-x，
∴

a

x

=

3a-x

a

，
解得：x=

3± 5

2

a，
∴當(dāng)BM=

3+ 5

2

a時(shí)，CM=

3- 5

2

a，則S_△BDM：S_△CEM=BM：CM=

7+3 5

2

；
當(dāng)BM=

3- 5

2

a時(shí)，CM=

3+ 5

2

a，則S_△BDM：S_△CEM=

7-3 5

2

．
故答案為：（7+3

5

）：2或（7-3

5

）：2．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了等邊三角形的性質(zhì)，三角形重心的性質(zhì)，平行線分線段成比例定理以及相似三角形的性質(zhì)等知識(shí)．此題綜合性很強(qiáng)，難度適中，解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用．