(2010•巴彥淖爾模擬)如圖所示,已知:如圖,AB是⊙O的直徑,D是弧BC的中點(diǎn),DE⊥AC交AC的延長線于E,
(1)求證:DE是⊙O的切線;
(2)若∠BAE=60°,⊙O的半徑為5,求DE的長.

【答案】分析:(1)連接OD.根據(jù)DE⊥AC,要證明OD⊥DE,只需證明OD∥AE,根據(jù)等弧所對的圓周角相等以及等邊對等角即可證明一對內(nèi)錯(cuò)角相等,從而證明兩條直線平行,得到垂直;
(2)連接BD,構(gòu)造直角三角形.能夠發(fā)現(xiàn)該圖中兩個(gè)30度的直角三角形,進(jìn)行計(jì)算.
解答:(1)證明:連接OD;
∵DE⊥AC,
∴∠E=90°.
∵D是的中點(diǎn),
∴∠1=∠2.
∵OA=OD,
∴∠3=∠2.
∴∠1=∠3.
∴OD∥AE.
∴∠ODE=180°-∠E=90°.
又∵OD是⊙O的半徑,
∴DE是⊙O的切線.

(2)解:連接BD;
∵D是的中點(diǎn),∠BAE=60°,
∴∠1=∠2=30°.
∵AB是⊙O的直徑,
∴∠ADB=90°.
∴AD=AB×cos∠2=
∵∠1=30°,
∴DE=AD=
點(diǎn)評:掌握證明切線的判定定理:連接圓心和直線與圓的公共點(diǎn),證明垂直;連接直徑,構(gòu)造直角三角形,也是圓中常見的輔助線之一.
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