Question

如圖，拋物線y=x²-x-與直線y=x-2交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），動點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，先到達(dá)拋物線的對稱軸上的某點(diǎn)E，再到達(dá)x軸上的某點(diǎn)F，最后運(yùn)動到點(diǎn)B．若使點(diǎn)P運(yùn)動的總路徑最短，則點(diǎn)P運(yùn)動的總路徑的長為

1. A.
   
2. B.
   
3. C.
   
4. D.
   

Answer 1

A
分析：首先根據(jù)題意求得點(diǎn)A與B的坐標(biāo)，求得拋物線的對稱軸，然后作點(diǎn)A關(guān)于拋物線的對稱軸x=的對稱點(diǎn)A′，作點(diǎn)B關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)B′，連接A′B′，則直線A′B′與直線x=的交點(diǎn)是E，與x軸的交點(diǎn)是F，而且易得A′B′即是所求的長度．
解答：如圖
∵拋物線y=x²-x-與直線y=x-2交于A、B兩點(diǎn)，
∴x²-x-=x-2，
解得：x=1或x=，
當(dāng)x=1時，y=x-2=-1，
當(dāng)x=時，y=x-2=-，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（，-），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，-1），
∵拋物線對稱軸方程為：x=-=
作點(diǎn)A關(guān)于拋物線的對稱軸x=的對稱點(diǎn)A′，作點(diǎn)B關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)B′，
連接A′B′，
則直線A′B′與對稱軸（直線x=）的交點(diǎn)是E，與x軸的交點(diǎn)是F，
∴BF=B′F，AE=A′E，
∴點(diǎn)P運(yùn)動的最短總路徑是AE+EF+FB=A′E+EF+FB′=A′B′，
延長BB′，AA′相交于C，
∴A′C=++（1-）=1，B′C=1+=，
∴A′B′==．
∴點(diǎn)P運(yùn)動的總路徑的長為．
故選A．
點(diǎn)評：此題考查了二次函數(shù)與一次函數(shù)的綜合應(yīng)用．注意找到點(diǎn)P運(yùn)動的最短路徑是解此題的關(guān)鍵，還要注意數(shù)形結(jié)合與方程思想的應(yīng)用．