Question

如下圖所示，AB為⊙O的直徑，BC切⊙O于B，AC交⊙O于P，CE＝BE，E在BC上．求證PE是⊙O的切線．

Answer 1

答案：
解析：

證明：連接OP，BP，∵AB為直徑， 　　∴∠APB＝∠BPC＝90°， 　　∵CE＝BE，∴EP＝EB， 　　∴∠EBP＝∠EPB， 　　又BC切⊙O于B，∴∠ABC＝90°， 　　∴∠OBP＋∠EBP＝90°， 　　∵OB＝OP，∴∠OBP＝∠OPB， 　　∴∠OPB＋∠EPB＝90°，∴OP⊥EP， 　　又OP為⊙O的半徑，∴PE是⊙O的切線． 　　分析：欲證PE是⊙O的切線，可連接OP，只需證OP⊥PE即可，∵AB為直徑，故連接BP，可得∠APB＝90°，∴PE＝EB，∠EBP＝∠EPB，又OB＝OP，∴∠OBP＝∠OPB，由∠ABC＝90°，可得∠OPE＝90°，即OP⊥PE． 　　小結：(1)證切線，連接圓心與該直線和圓的交點，只要證所作半徑與該直線垂直即可．如本例證PE為切線，連接OP，只要證OP⊥PE即可． 　　(2)直徑所對的圓周角是直角，如本例AB為直徑，則∠APB＝90°． 　　(3)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．如本例∠BPC＝90°，BE＝CE，則PE＝BC＝BE＝CE．