Question

【題目】如圖，直線(xiàn)y＝-x-3與x軸，y軸分別交于點(diǎn)A，C，經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，C的拋物線(xiàn)y＝ax2+bx﹣3與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)B(2，0)，點(diǎn)D是拋物線(xiàn)上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥x軸于點(diǎn)E，連接AD，DC．設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為m．

(1)求拋物線(xiàn)的解析式；

(2)當(dāng)點(diǎn)D在第三象限，設(shè)△DAC的面積為S，求S與m的函數(shù)關(guān)系式，并求出S的最大值及此時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo)；

(3)連接BC，若∠EAD＝∠OBC，請(qǐng)直接寫(xiě)出此時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】(1)y＝x2+x﹣3；(2)S△ADC=﹣(m+3)2+；△ADC的面積最大值為；此時(shí)D(﹣3，﹣)；(3)滿(mǎn)足條件的點(diǎn)D坐標(biāo)為(﹣4，﹣3)或(8，21).

【解析】

（1）求出A坐標(biāo)，再用待定系數(shù)法求解析式；（2）設(shè)DE與AC的交點(diǎn)為點(diǎn)F.設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為：(m，m2+m﹣3)，則點(diǎn)F的坐標(biāo)為：(m，﹣m﹣3)，根據(jù)S△ADC＝S△ADF+S△DFC求出解析式，再求最值；（3）①當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)C關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)時(shí)，D(﹣4，﹣3)，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性此時(shí)∠EAD＝∠ABC．

②作點(diǎn)D(﹣4，﹣3)關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)D′(﹣4，3)，直線(xiàn)AD′的解析式為y＝x+9，解方程組求出函數(shù)圖像交點(diǎn)坐標(biāo).

解：(1)在y＝﹣x﹣3中，當(dāng)y＝0時(shí)，x＝﹣6，

即點(diǎn)A的坐標(biāo)為：(﹣6，0)，

將A(﹣6，0)，B(2，0)代入y＝ax2+bx﹣3得：

，

解得：，

∴拋物線(xiàn)的解析式為：y＝x2+x﹣3；

(2)設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為：(m，m2+m﹣3)，則點(diǎn)F的坐標(biāo)為：(m，﹣m﹣3)，

設(shè)DE與AC的交點(diǎn)為點(diǎn)F.

∴DF＝﹣m﹣3﹣(m2+m﹣3)＝﹣m2﹣m，

∴S△ADC＝S△ADF+S△DFC

＝DFAE+DFOE

＝DFOA

＝×(﹣m2﹣m)×6

＝﹣m2﹣m

＝﹣(m+3)2+，

∵a＝﹣＜0，

∴拋物線(xiàn)開(kāi)口向下，

∴當(dāng)m＝﹣3時(shí)，S△ADC存在最大值，

又∵當(dāng)m＝﹣3時(shí)，m2+m﹣3＝﹣，

∴存在點(diǎn)D(﹣3，﹣)，使得△ADC的面積最大，最大值為；

(3)①當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)C關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)時(shí)，D(﹣4，﹣3)，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性此時(shí)∠EAD＝∠ABC．

②作點(diǎn)D(﹣4，﹣3)關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)D′(﹣4，3)，

直線(xiàn)AD′的解析式為y＝x+9，

由，解得或，

此時(shí)直線(xiàn)AD′與拋物線(xiàn)交于D(8，21)，滿(mǎn)足條件，

綜上所述，滿(mǎn)足條件的點(diǎn)D坐標(biāo)為(﹣4，﹣3)或(8，21