Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線y＝ax2+bx﹣5與x軸交于A(﹣1，0)．B(5，0)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．

(1)求此物線的解析式；

(2)在此物線的對(duì)稱(chēng)軸上找一點(diǎn)M．使得MA+MC最小，請(qǐng)求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；

(3)在直線BC下方拋物線上是否存在點(diǎn)P，使得△PBC的面積最大？若存在．請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2﹣4x﹣5；（2）M(2，﹣3)；（3）存在，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(，)

【解析】

(1)把A(﹣1，0)、B(5，0)代入拋物線y＝ax2+bx﹣5求出a、b的值即可確定拋物線的關(guān)系式；

(2)由對(duì)稱(chēng)可得，直線BC與對(duì)稱(chēng)軸的交點(diǎn)就是所求的點(diǎn)M，求出直線BC的關(guān)系式和對(duì)稱(chēng)軸方程，求出交點(diǎn)坐標(biāo)即可；

(3)向下平移直線BC與拋物線有唯一公共點(diǎn)時(shí)，這個(gè)公共點(diǎn)就是要求的點(diǎn)M，于是利用平移后的直線關(guān)系式與拋物線關(guān)系式聯(lián)立，使其只有一個(gè)解時(shí)即可．

解：(1)把A(﹣1，0)、B(5，0)代入拋物線y＝ax2+bx﹣5得，

，

解得，a＝1，b＝﹣4，

∴拋物線的關(guān)系式為y＝x2﹣4x﹣5，

故答案為：y＝x2﹣4x﹣5；

(2)當(dāng)x＝0時(shí)，y＝﹣5，

∴點(diǎn)C(0，﹣5)

設(shè)直線BC的關(guān)系式為y＝kx+b，

把點(diǎn)B、C坐標(biāo)代入得，

，

解得，，

∴直線BC的關(guān)系式為y＝x﹣5，

∵拋物線的關(guān)系式為y＝x2﹣4x﹣5＝(x﹣2)2﹣9，

∴對(duì)稱(chēng)軸為直線x＝2，

由對(duì)稱(chēng)可得，直線BC與對(duì)稱(chēng)軸x＝2交點(diǎn)就是所求的點(diǎn)M，

當(dāng)x＝2時(shí)，y＝2﹣5＝﹣3，

∴點(diǎn)M(2，﹣3)時(shí)，MA+MC最小，

故答案為：M(2，﹣3)；

(3)向下平移直線BC，使平移后的直線與拋物線有唯一公共點(diǎn)P時(shí)，此時(shí)點(diǎn)P到BC的距離最大，因此△PBC的面積最大，

設(shè)將直線BC向下平移后的直線的關(guān)系式為y＝x﹣5﹣m，

則方程x2﹣4x﹣5＝x﹣5﹣m，有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，

即x2﹣5x+m＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，

∴m＝，

當(dāng)m＝時(shí)，方程x2﹣5x+m＝0的解為x＝，

把x＝代入拋物線的關(guān)系式得，y＝﹣4×﹣5＝﹣，

∴P(，﹣)

答：在直線BC下方拋物線上存在點(diǎn)P，使得△PBC的面積最大，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(，﹣)，

故答案為：P(，﹣)．